無理回転

力学系の数学理論において、無理回転（むりかいてん、英: irrational rotation）とは、次の写像のことを言う：

T_{\theta }:[0,1]\rightarrow [0,1],\quad T_{\theta }(x)\triangleq x+\theta \mod 1.

但し θ は無理数である。円を R/Z、あるいは境界が貼り合わされる区間 [0, 1] と見なすと、この写像は全回転に対する割合 θ（すなわち、2πθ ラジアンのある角）による円の回転を表すことになる。θ は無理数であるので、この回転は円周群において無限の位数を持ち、写像 T_θ は周期軌道を持たない。

上の代わりに、無理回転は乗法を用いて次の写像のように表すことも出来る：

T_{\theta }:S^{1}\to S^{1},\quad \quad \quad T_{\theta }(x)=xe^{2\pi i\theta }

これら加法と乗法の記法の間にある関係は、群同型

\phi :([0,1],+)\to (S^{1},\cdot )\quad \phi (x)=xe^{2\pi i\theta }

.

である。 $φ$ は等長であることを示すことも出来る。

$θ$ が有理数であるか無理数であるかに応じて、円周の回転には明確な区別が存在する。有理回転は、 $\theta ={\frac {a}{b}}$ および $\gcd(a,b)=1$ であれば $x\in [0,1]$ に対して $T_{\theta }^{b}(x)=x$ になるという事実より、力学系において無理回転ほどの興味を引くものではない。 $1\leq i<b$ であれば $T_{\theta }^{i}(x)\neq x$ を示すことも出来る。

意義

無理回転は、力学系の理論において基礎となる例を与える。ダンジョワの定理（英語版）に従うと、回転数 $θ$ が無理数であるような円板の向き付け保存 $C 2$ -微分同相写像はすべて、 $T θ$ と位相共役である。無理回転は測度保存エルゴード変換であるが、混合的（英語版）ではない。角度が $θ$ であるトーラス上のクロネッカー葉層と関連する力学系に対するポアンカレ写像は、 $θ$ による無理回転である。無理回転に関連するC*-環は、無理回転環（英語版）として知られ、幅広く研究されている。

性質

$θ$ が無理数であるなら、回転 $T θ$ の下での $[0,1]$ の元の軌道は $[0,1]$ において稠密である。したがって、無理回転は位相的に推移可能（英語版）である。
$θ$ が無理数であるなら、 $T θ$ は一意的にエルゴード的である。
無理回転および有理回転は、位相的に混合ではない。
無理回転はルベーグ測度に関してエルゴード的である。
無理回転は、唯一つの不変な確率測度であるルベーグ測度を伴い、一意的にエルゴード的である。
$[a, b] \subset [0,1]$ を仮定する。 $T θ$ はエルゴード的であるため、次が成り立つ。
${\text{lim}}_{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}\chi _{[a,b)}(T_{\theta }^{n}(t))=b-a$ .

一般化

円周回転は群の並進（group translation）の例である。
$S 1$ からそれ自身への一般の向き付け保存同型写像 $f$ に対し、位相同型写像 $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ は $\pi \circ F=f\circ \pi$ を満たすなら、 $f$ のリフトと呼ばれる。但し $\pi (t)=t{\text{mod}}\,1$ である^[1]。

応用

円周の回転に関する歪積（Skew product）について：1969年にウィリアム・ヴィーチ（William Veech）は、極小であるが一意にエルゴード的ではない力学系の例を次の様に構成した^[2]：「単位円周の二つのコピーを用意し、それぞれ終点が　0 となるような長さ $2 πα$ の区分 $J$ を反時計回りに取る。 $θ$ を無理数とし、次の力学系を考える。第一の円周のある点 $p$ を始点とする。軌道が $J$ に到達するまで、 $2 πθ$ によって反時計回りに回転する。その後、第二の円周の対応する点に移動し、 $J$ に到着するまで $2 πθ$ によって回転する。再び第一の円の対応する点に戻り、以下この手順を繰り返す。ヴィーチは、 $θ$ が無理数であるなら、システムは極小であるがルベーグ測度が一意にエルゴード的でないような無理数 $α$ が存在することを示した」^[3]。