相関関数 (場の量子論)

場の量子論
(ファインマン・ダイアグラム)
歴史
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表 話 編 歴

場の量子論において、実空間のn点相関関数は、異なる位置での${\displaystyle n}$個の場の演算子の積の平均(期待値)として定義される。

${\displaystyle C_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):=\left\langle \phi (x_{1})\phi (x_{2})\ldots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\int D\phi \;e^{-S[\phi ]}\phi (x_{1})\ldots \phi (x_{n})}{\int D\phi \;e^{-S[\phi ]}}}}$

時間依存する相関関数では、時間順序積${\displaystyle T}$が含まれる。

場の量子論での相関関数はグリーン関数とも呼ばれる。

場の量子論での相関関数とその性質について以下に示す^[1]。

最も単純な実時間についての相関関数は、次のように2つの演算子の積の平均をとったものである。

${\displaystyle S_{AB}(t,t')=\langle A(t)B(t')\rangle }$

ここで、場の量子論では粒子の生成・消滅が起こるため、平均${\displaystyle \langle \quad \rangle }$としてグランドカノニカル平均を採用する。よってハイゼンベルク描像での演算子${\displaystyle A(t),B(t)}$の時間依存性は、ハミルトニアンのみの形${\displaystyle e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }}$ではなく、次のように化学ポテンシャルを含んだ形で決定される。

${\displaystyle A(t)=e^{i(H-\mu N)t/\hbar }Ae^{-i(H-\mu N)t/\hbar }}$

この相関関数${\displaystyle S_{AB}(t,t')}$を具体的に計算してみると、tとt'に独立に依存するのではなく、その差t-t'の関数であることがわかる。よって以下では${\displaystyle S_{AB}(t-t')}$と書くことにする。t'=0のときは${\displaystyle S_{AB}(t)}$である。このフーリエ変換は、次のように定義される。

${\displaystyle S_{AB}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }S_{AB}(t)e^{i\omega t}dt}$

この相関関数のフーリエ変換は、次のような性質を持つ。

${\displaystyle S_{BA}(\omega )=e^{-\beta \hbar \omega }S_{AB}(\omega )}$

${\displaystyle S_{AA^{\dagger }}(\omega )\geqq 0}$

${\displaystyle S_{AB}^{*}(\omega )=S_{B^{\dagger }A^{\dagger }}(\omega )}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|S_{AB}(\omega )|d\omega \leqq \langle AA^{\dagger }\rangle ^{1/2}\langle B^{\dagger }B\rangle ^{1/2}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|S_{AB}(\omega )|e^{\beta \hbar \omega }d\omega \leqq \langle A^{\dagger }A\rangle ^{1/2}\langle BB^{\dagger }\rangle ^{1/2}}$

このような単純な積の平均で表される相関関数の他に、以下のようなものがよく用いられる。

• 交換子または反交換子の平均：${\displaystyle \langle [A(t)B(t')]_{\pm }\rangle }$

先進グリーン関数や遅延グリーン関数で用いられる。

• 時間順序積の平均：${\displaystyle \langle T[A(t)B(t')]\rangle }$

温度グリーン関数で用いられる（ただし温度グリーン関数は実時間ではなく虚時間${\displaystyle \tau =it}$についてのグリーン関数である）。

• グリーン関数 (多体理論)
• 連結相関関数（英語版）(Connected correlation function)
• 相関は因果を含まない(Correlation does not imply causation)
• 一粒子既約相関関数（英語版）(One particle irreducible correlation function)
• 分配関数 (数学)

1. ^ 西川恭治, 森弘之『統計物理学 (朝倉物理学大系)』朝倉書店、2000年。ISBN 4254136803。 

• Alexander Altland, Ben Simons (2006): Condensed Matter Field Theory Cambridge University Press

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