算術幾何数列

数学における算術幾何数列（さんじゅつきかすうれつ、仏: suite arithmético-géométrique; 英: arithmetico–geometric sequence）は、一次の漸化式を満足する数列で、算術数列および幾何数列をともに一般化する^{[注釈 1]}。

定義

ここでは任意の可換体 $K$ をひとつ固定する（例えば実数体 $ℝ$ や複素数体 $ℂ$ ）。 $K$ に値をとる数列 $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ が算術幾何数列であるとは、 $K$ の適当な元 $a, b$ が存在して、その数列が以下の漸化式 $u_{n+1}=au_{n}+b\quad (\forall n\in \mathbb {N} )$ を満足するときに言う。^[1]

注意: 途中の番号から始まる列 $(u n) n \geq n 0$ は、 $v p = u n 0 + p$ と置くことにより、常に $(v p) p \inℕ$ なる形に書き直せる^[2]。そのような列 $(u n)$ が $n \geq n 0$ において上記の漸化式を満たすことと、 $(v p) p \inℕ$ が算術幾何的であることとは同値になる。

性質

算術幾何数列は二階線型回帰数列で、斉次線型漸化式 ${\textstyle u_{n+1}=(a+1)u_{n}-au_{n-1}}$ の解として与えられる。
算術幾何数列の「公差」 $b$ は以下の式で与えられる: $b={\frac {u_{n}^{2}-u_{n-1}u_{n+1}}{u_{n}-u_{n-1}}}.$
算術幾何数列の階差数列 ${\textstyle w_{n}=u_{n+1}-u_{n}}$ は、公比 $a$ の幾何数列である。
算術幾何数列の部分和の列 $S n$ は三階の線型回帰数列で $S_{n+1}=(a+2)S_{n}-(2a+1)S_{n-1}+aS_{n-2}$ を満足する。
部分和の列が算術幾何数列を成すような数列は、それ自身が幾何数列を成す。

一般項

$a = 1$ の場合

$a = 1$ のとき、漸化式は、 $u_{n+1}=u_{n}+b\quad (\forall n\in \mathbb {N} )$ となり、これは算術数列の漸化式であるから、一般項は $u_{n}=u_{0}+nb\quad (\forall n\in \mathbb {N} )$ となる。

$a \neq 1$ の場合

${\textstyle r={\frac {b}{1-a}}}$ と置けば、一般項は $u_{n}=a^{n}(u_{0}-r)+r\quad (\forall n\in \mathbb {N} )$ で与えられる（ $a = n = 0$ のときは $00 = 1$ と約束する）。

平行移動による証明^[3]

まず付随する函数 $x \mapsto ax + b$ に対し $f (r) = r$ を満たす点 $r$ （ $f$ の不動点）を求めると、 $ar+b=r\iff r=b/(1-a).$ と書ける。ここで ${\textstyle v_{n}=u_{n}-r}$ と置けば、漸化式 $u n + 1 = au n + b$ は $v n + 1 + r = a (v n + r) + b$ から $v_{n+1}=av_{n}+ar+b-r=av_{n}$ となり、数列 $(v n)$ は公比 $a$ の幾何数列を成す。したがって $u_{n}=v_{n}+r=a^{n}v_{0}+r=a^{n}(u_{0}-r)+r.$

階差による証明

一階の差分 $w n = u n + 1 - u n$ をとれば、算術幾何数列の線型漸化式は $w_{n+1}=u_{n+2}-u_{n+1}=(au_{n+1}+b)-(au_{n}+b)=a(u_{n+1}-u_{n})=aw_{n}$ となり、数列 $(w n)$ は公比 $a$ の幾何数列で、初項 ${\textstyle w_{0}=u_{1}-u_{0}=au_{0}+b-u_{0}=(a-1)u_{0}+b}$ を持つ。したがって、幾何級数の部分和の公式から、任意の自然数 $n$ に対して（ $n = 0$ のときは空和は零とする規約を用いて）、 $\sum _{0\leq k<n}w_{k}=w_{0}{\frac {a^{n}-1}{a-1}}={\frac {(a-1)u_{0}+b}{a-1}}(a^{n}-1)$ と書ける。これは $r = b /(1 - a)$ と置けば ${\textstyle u_{n}-u_{0}=(u_{0}-r)(a^{n}-1)}$ だから、所期の式 $u_{n}=(u_{0}-r)(a^{n}-1)+u_{0}=a^{n}(u_{0}-r)+r$ に達する。

定義節の注意に従えば、より一般に: $u_{n}=a^{n-n_{0}}(u_{n_{0}}-r)+r\quad (\forall n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\forall n\geq n_{0})$ と書ける。

部分和

$a \neq 1$ で、常に $r = b /(1 - a)$ と書くことにすれば、最初の $n$ 項（第 $0$ -項から第 ( $n - 1)$ -項まで）の和は $S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}=(u_{0}-r){\dfrac {1-a^{n}}{1-a}}+nr$ で与えられる。

証明

前節の一般項の式に従えば、幾何数列の部分和の公式も用いて、 ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}&=\sum _{k=0}^{n-1}(a^{k}(u_{0}-r)+r)\\&=(u_{0}-r)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}\right)+nr\\&=(u_{0}-r){\frac {1-a^{n}}{1-a}}+nr.\end{aligned}}$

これを用いて、連続する項の和も計算できる。上と同じ仮定の下 $n > p$ として $\sum _{k=p}^{n-1}u_{k}=S_{n}-S_{p}=(u_{0}-r){\dfrac {a^{p}-a^{n}}{1-a}}+(n-p)r$ となる。

収束性

一般項および幾何数列の収束条件から、算術幾何数列の極限も $a$ の値（必要ならば $u 0 - r$ の符号も）によって決定することができる（ $a \neq 1$ のとき $r = b /(1 - a)$ と置いたことに注意）。

$| a | < 1$ のときは、数列の極限は初期値が何であろうと $r$ である。つまり、この場合の収束性は、完全に初期条件に無関係である。このような特徴は（ロジスティック列のような）非線型漸化式が極めて初期条件に鋭敏であることと対照である。マルコフ鎖において、これは鎖が安定鎖に収束することを示す。

応用

算術幾何数列は、ある種の人口変動（変動率が一定）のモデリングとして現れる。例えば、常に $10$ の流入と $5%$ の流出があることを ${\textstyle u_{n+1}=u_{n}+10-{\frac {5}{100}}\times u_{n}}$ と書ける。

算術幾何数列は返済計画（フランス語版）にも現れる。資本 C を月率 t で借りて月額 M で分割払いする返済計画を考えると、 $n$ か月後に残った借金 $R n$ の成す数列 $(R n)$ は漸化式 ${\textstyle R_{n+1}=(1+t)R_{n}-M}$ を満たし、算術幾何数列を成す。

算術幾何数列は二状態マルコフ鎖にも現れる。推移確率行列（英語版）を ${\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}$ とすると、関係式 $(p_{n+1},q_{n+1})=(p_{n},q_{n}){\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}$ から ${\textstyle p_{n+1}=ap_{n}+(1-b)q_{n}}$ が得られ、一方 ${\textstyle q_{n}=1-p_{n}}$ であったから、代入して $p_{n+1}=(a+b-1)p_{n}+1-b$ を得る。

注

注釈

^ 定義により、算術級数は一次の係数が $1$ の、幾何級数は定数項が $0$ の一次漸化式をそれぞれ持つのであった。

出典

^ Суконник Я. Н. Арифметико-геометрическая прогрессия // Квант. — 1975. — № 1. — С. 36—39.
^ J'intègre de Deschamps et Warusfel, tome 1, p. 127.^{[要文献特定詳細情報]}
^ Ramis, J.-P.; Warusfel, A. (2013) [2006]. Mathématiques: Tout-en-un pour la Licence – niveau 1. Sciences Sup (2 ed.). Dunod. p. 534..