純虚指数函数

初等解析学における函数 $cis$ とは、実数 $x$ を複素数 $cos(x) + i sin(x)$ に対応させる関数のことである^[1]^[2]^[3]^[4]。ここで $cos$ は余弦関数、 $sin$ は正弦関数、 $i$ は虚数単位である。

cis(x) ≔ cos(x) + i sin(x)

" $cis$ " は " $c os + i s in$ " の省略形である。

この函数 $cis: R \to S 1 (\subset C *)$ は、複素指数函数 $e z$ を用いれば、オイラーの公式より

cis(x) = e ix

と表せる。すなわち純虚変数 $ix$ の指数函数（じゅんきょへんすうのしすうかんすう、英: imaginary exponential function）として書くことができる。複素指数函数とは別にこのような表記を設けることは、一見冗長であるように思われるが、偏角 $x$ の関数であることを強調する上で有用となる。

概観

初めて造語 $cis$ が用いられたのはウィリアム・ローワン・ハミルトンの著書 Elements of Quaternions (1866)^[5]であり、引き続いてアーヴィング・ストリンガム（英語版）が Uniplanar Algebra (1893)^[6]^[7]などで、あるいはジェームズ・ハークネス（英語版）とフランク・モーリーが Introduction to the Theory of Analytic Functions (1898)^[7]^[8]で用いた。

cis関数は、複素数平面においてオイラーの公式を通じて三角関数と複素指数函数とを結びつけるもので、極形式を簡素化したいが、複素指数函数が教育課程で未習の場合、または何らかの理由で用いたくない場合に使用する^[5]^[6]^[1]。

情報技術において、様々な高度数学ライブラリ（例えばインテルの Math Kernel Library (MKL)^[9]）でサポートされており、多くのコンパイラやプログラミング言語（例えば C, C++,^[10] Common Lisp,^[11]^[12] D,^[13] Fortran,^[14] Haskell^[15]）およびオペレーティングシステム（例えば Windows, Linux,^[14] macOS や HP-UX^[16]）で利用できる。プラットホームによっては、正弦函数と余弦函数を個別に呼び出すよりも二倍ほど速い^[13]^[17]。

第二次世界大戦後、数式記述にタイプライターが用いられるようになったころから、この記法はより広まった。上付き添え字は ' $cis$ ' や ' $exp$ ' よりも小さく、また上に偏っているから、手書きの場合でさえ困ることがある。 $e ix 2$ , $cis(x 2)$ , $exp(ix 2)$ を比較してみると、読み手には $cis(x 2)$ が見易く読み取り易い^[要出典]。

$cos(x) + i sin(x)$ を $cis(x)$ と表記する $cis$ 記法は、ある種の記憶術 (c,i,s → $cos + i sin$ ) であり、cis函数について議論する数学者や技術者にとって、本質を強調するために有用となることがある。

性質

複素数 $z = x + iy$ （ $x, y$ は実数）に対して、複素指数函数は次の式で表せる：

$exp(z) = exp(x)\cdotcis(y)$

$cis(x) = cos(x) + i sin(x)$ ^[18]と、

cis(- x) = cos(- x) + i sin(- x) = cos(x) - i sin(x)

を連立することにより、 $cos(x), sin(x)$ は cis関数で表せる：

$\cos(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)+\operatorname {cis} (-x)}{2}}={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},$
$\sin(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (-x)}{2i}}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$
微分： ${\frac {d}{dz}}\operatorname {cis} (z)=i\operatorname {cis} (z)=ie^{iz}$ ^[19]
積分： $\int \operatorname {cis} (z)\,dz=-i\operatorname {cis} (z)=-ie^{iz}$ ^[18]

以下はオイラーの公式から直ちに従う：

$\operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} (x)\,\operatorname {cis} (y)$ ^[20]
$\operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} (x) \over \operatorname {cis} (y)}$