遠アーベル幾何学

遠アーベル幾何学（えんアーベルきかがく、Anabelian geometry）は数学の理論であり、代数多様体 V 上の代数的基本群 G や関連する幾何学的対象を記述する。また、V をどのように他の幾何学的対象 W へ写像することができるかを決定する。いずれもより詳細な意味は、G がアーベル群から遠い場合を前提とするという意味である。

数体とその絶対ガロア群の初期の結果は、アレクサンドル・グロタンディークによる数体の双曲線^[1]についての予想に先立ち、ユルゲン・ノイキルヒ、ギュンデュズ・イケダ、岩澤健吉、内田興二（ノイキルヒ・内田の定理）によって得られていた。

単語としての「遠アーベル」はアーベルに否定の接頭辞 an がついたもので、1980年代のグロタンディークの有名な著作である「Esquisse d'un Programme」で導入された^[2]。

グロタンディークの仕事は、多くの年月の間未出版であり、伝統的で公式の学術チャンネルを通しては入手できなかったが、提示された理論の定式化と予想は多くの注目を集め、多くの数学者により言い換えられている。この分野の研究者は、期待された結果や関連する結果を得ており、21世紀にはそのような理論が有効となり始めると期待される^[3]。

望月新一はいわゆる単(mono-)遠アーベル幾何学を導入および発展させた。^[4]それは、数体または他のいくつかの体にわたる特定のクラスの双曲的曲線について、その代数的基本群からその曲線を復元するものである。単遠アーベル幾何学の主要な結果は望月の「絶対遠アーベル幾何学」などにある^[5]^[6]。

遠アーベル幾何学は、類体論の一般化の1つと見なすことができる。他の2つの一般化（高次アーベル類体論と、表現理論的ラングランズ・プログラム）とは異なり、遠アーベル幾何学は非常に非線形でnon-アーベルである^[7]。

曲線上のグロタンディークの予想の定式化

「遠アーベル的問題」とは次のように定式化される。

多様体 X の同型類についてのどのくらいの情報が、エタール基本群(etale fundamental group)^[8]の知識には含まれているのであろうか？^[9]

具体例は、多様体が射影的と同様にアフィン的な場合である。有限生成な体 K （その上の素体）上に定義された滑らかで既約な場合を想定し、与えられた双曲線 C に対し、つまり、種数 g の射影代数曲線内の n 個の点の補空間に対し、

2 – 2g – n < 0 ^[10]

とする。グロタンディークは、射有限群である C の代数的基本群 G が C 自身を決定する（つまり G の同型類が C の同型類を決定する）と予想した。このことは望月により証明された^[11] g = 0（射影直線）で n = 4 の場合の例が与えられ、このとき、C の同型類が K の中の削除される 4つの点の連比により決定される。（ほとんど、連比で 4つの点の順序であるが、点を取り去ると存在しない。）^[12]K が局所体の場合の結果もある^[13]。

脚注

^ 「与えられた代数多様体が代数曲線（1次元）の場合には、その遠アーベル性は、双曲性と同値であろうと考えられていた。」「しかしながら、Grothendieckは、2次元以上の代数多様体に対する遠アーベル性の正確な定義を与えなかった。また、Grothendieckが定義を与えなかったというだけでなく、そもそも、高次元にも通用する’適切な定義’が存在するのかどうかすら、現時点においても不明のままである。」（「遠アーベル幾何学の進展」星裕一郎 p.2）『数学』第 74 巻第 1 号 2022 年 1 月冬季号
^ Alexander Grothendieck, 1984. "Esquisse d'un Programme", (1984 manuscript), published in "Geometric Galois Actions", L. Schneps, P. Lochak, eds., London Math. Soc. Lecture Notes 242, Cambridge University Press, 1997, pp. 5–48; English transl., ibid., pp. 243–283.
^ 『5.4. スキームの基本群と遠アーベル幾何：　ここでは可換環を単に環と呼ぶことにします。環の典型的な現れ方として、与えられた空間Xの上の（適当な条件を満たす）関数全体のなす環があります。この場合、関数の値の和、差、積を考えることにより、関数の和、差、積を定義します。（1,0は、それぞれ恒等的に値1,0を取る関数として定義します。）実は、任意の環はこのようにして得られることが知られています。より正確に言うと、与えられた環Rに対し、アフィンスキームと呼ばれるある種の空間Spec(R)が定まり、Rは空間Spec(R) 上の正則関数全体のなす環と自然に同一視されます。更に、環を考えることとアフィンスキームを考えることは本質的に同等であることが知られています。グロタンディーク自身により、体のガロア理論は、スキームのガロア理論へと一般化されました。この理論で体の絶対ガロア群に当たるものが、スキームの基本群です。絶対ガロア群は、与えられた体の（有限次分離）拡大体全体を統制する副有限位相群でしたが、基本群は、与えられたスキームの（有限エタール）被覆全体を統制する副有限位相群です。スキームの基本群は、通常の位相幾何（トポロジー）で扱う位相空間の基本群の代数的（ないし代数幾何的）な類似と見ることができます。』玉川安騎男. “「ガロア理論とその発展」(数学入門公開講座テキスト京都大学数理解析研究所平成18年7月)” (PDF). 2025年5月24日閲覧。
^ Y. Hoshi, Introduction to mono-anabelian geometry (PDF) to appear in Proceedings of the conference “Fundamental Groups in Arithmetic Geometry”, Paris, France 2016. [1] (Semantic Scholar単遠アーベル関連サイト Introduction to Mono-anabelian Geometry )
^ 単遠アーベル幾何学に対して、「（望月は）’充満・忠実性の観点によるこれまでの遠アーベル幾何学’ を双遠アーベル幾何学(bi-anabelian geometry)と呼び、これら’二つの遠アーベル幾何学’ に区別を与えた。」（「遠アーベル幾何学の進展」星裕一郎 pp.15-16）『数学』第 74 巻第 1 号 2022 年 1 月冬季号
^ 単遠アーベル的復元は,“所望の手続きの存在を証明する”ことが目的なのではなく,“所望の手続きを与える”ことが目的である. 例えば, [8],Corollary 1.10, は, その主張を述べるためにおよそ 3 ページが費やされ, しかし, 証明がたったの 2 行で終わってしまうという, 従来の数学では比較的珍しい構成になっている. このような状況が生じる背景には, この “主張の中にその手続きを書くべき” という考えがある. (絶対 Galois 群による数体の復元星裕一郎 (京都大学数理解析研究所) 2014年5月 p.4)
^ Fesenko, Ivan (2021), Class field theory, its three main generalisations, and applications, May 2021, EMS Surveys 8(2021) 107-133
^ 表記の揺れがある。エタール基本群(etale fundamental group)、代数的基本群(Algebraic fundamental group)など。
^ Grothendieck’s “Long March through Galois theory”, p. 2.
^ 2 – 2g – nは、オイラー標数。< 0は、双曲曲線(双曲曲面)*)を意味すると考えられる。( *)複素1変数(1次元)で曲線、それを実2変数(2次元)とみれば曲面になる。) ”種数 g の有向曲面 Σg からn個の点を除いて得られる曲面を Σg,n で表す。任意の有限面積有向双曲曲面は，オイラー標数がχ(Σg,n) = 2 − 2g − n < 0を満たす Σg,n に同相である。” (「結び目と３次元多様体～幾何構造とファイバー構造を中心として～」作間誠 (広島大学)(2016)p3. 「2.3. 双曲曲面とタイヒミュラー空間」より) (第63回トポロジーシンポジウム(2016))
^ S. Mochizuki, The profinite Grothendieck conjecture for hyperbolic curves over number fields, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 3 (1996), 571–627.
^ Ihara, Yasutaka; Nakamura, Hiroaki (1997-07-10). “Some illustrative examples for anabelian geometry in high dimensions” (PDF). London Math. Soc. Lecture Note Series 242 (Geometric Galois Actions I): 127-138. CRID 1360298343299766528. doi:10.1017/cbo9780511758874.010. ISSN 00760552 2023年12月19日閲覧。.
^ Mochizuki, Shinichi (2003-01-01). “The Absolute Anabelian Geometry of Canonical Curves” (PDF). DOCUMENTA MATHEMATICA Extra Volume (a collection of manuscripts written in honour of Kazuya Kato on the occasion of his fiftieth birthday): 609--640. doi:10.4171/dms/3/17. ISSN 14310643. CRID 1360016870443970432 2023年12月19日閲覧。.