順序単位

数学において順序単位（じゅんじょたんい、英: order unit）とは、順序付きベクトル空間（英語版）の各元を上から評価するために用いられる元である^[1]。したがって（後述の例で分かるように）順序単位は実数の単位元を一般化するものである。

ベクトル空間 ${\displaystyle X}$ 内の順序錐 ${\displaystyle K\subseteq X}$ に対して、元 ${\displaystyle e\in K}$ が順序単位（より正確には、${\displaystyle K}$-順序単位）であるとは、すべての ${\displaystyle x\in X}$ に対してある ${\displaystyle \lambda _{x}>0}$ が存在し ${\displaystyle \lambda _{x}e-x\in K}$ が成立することを言う（すなわち、${\displaystyle x\leq _{K}\lambda _{x}e}$ である）^[2]。

順序錐 ${\displaystyle K\subseteq X}$ の順序単位は、${\displaystyle K}$ の代数的内部 ${\displaystyle \operatorname {core} (K)}$ の元である^[2]。

${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ を実数とし ${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}}$ とすると、単位元 ${\displaystyle 1}$ は順序単位である。

${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ とし ${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}^{n}=\{x\in \mathbb {R} :\forall i=1,\ldots ,n:x_{i}\geq 0\}}$ とすると、単位元 ${\displaystyle {\vec {1}}=(1,\ldots ,1)}$ は順序単位である。