2行軌道要素形式

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2行軌道要素形式（にぎょうきどうようそけいしき、英: Two-line elements ： TLE）は、アメリカ航空宇宙局 (NASA) と北アメリカ航空宇宙防衛司令部 (NORAD) が現在でも使用している、人工衛星の地心座標系におけるケプラー軌道要素のテキスト形式のフォーマットである^[1][2]。元来は初期のコンピューターの80桁のパンチカード用としてデザインされたフォーマットであるが、さまざまな分野で非常に普及しており、また他のいかなるフォーマットと比べても遜色なく働くことから、現在でも使用されている。

応用分野や対象となる軌道にもよるが、更新から30日以上経過した2行軌道要素形式を用いて計算された値は、信頼性に欠ける可能性がある。衛星の軌道上の位置は、2行軌道要素形式から、SGP、SGP4、SDP4、SGP8、SDP8 の各アルゴリズムを用いて計算される^[3][4]。SGP4 を使用した場合の精度は、位置に関して典型的には誤差 1 km である。例えば 300 km 離れた位置からは、これは最大 0.2° の観測誤差を引き起こす。

2行軌道要素形式は、テキスト形式の1行69文字の2行 (Line 1 と Line 2) から成る。使用可能な文字は、英大文字 A–Z、数字 0–9、小数点.、空白 および + と - の符号のみである。

実際の利用においては、分かり易いように、Line 1 の前に Line 0 として24文字以内の衛星名を付加することが広く行われている。衛星名として使用可能な文字は Line 1 と Line 2 で利用可能な文字よりもやや自由度が大きく、少なくとも英大文字 A–Z、数字 0–9、丸括弧 ( と )、角括弧 [ と ]、+ と - の符号、および空白が利用可能である（その他のASCII文字も利用されている可能性がある）。衛星名の24文字という制限は、NORAD および NASA で使用されている衛星名と整合性を保つための慣例である（Line 0 を付加して3行の形式とした場合でも、2行軌道要素形式と呼ばれる）。以下の説明は Line 0 を付加した形式で行う。

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
1 BBBBBC DDEEEFFF GGHHH.HHHHHHHH +.IIIIIIII +JJJJJ-J +KKKKK-K L MMMMN
2 BBBBB PPP.PPPP QQQ.QQQQ RRRRRRR SSS.SSSS TTT.TTTT UU.UUUUUUUUVVVVVW

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA が24桁の衛星名 (Line 0) である。 また、下記以外の文字は、次で説明するためのシンボルである。

凡例（一般フォーマットの各項目共通）

• 1、2、. ： これらはそれぞれ各桁番号および小数点を表す。これ以外の文字は来ない。
• + ： 続く数値の符号が来ることを表し、+、-または空白が来る。
• - ： 1桁の数値が続く場合は、その数値の符号であり、+ か - が来る。その場合、この符号付の1桁の整数は、先行する数値の10を底とする指数部である。この2桁は空白になる場合がある。
• その他 : シンボル

以下に具体例をあげる^[1]。

ISS (ZARYA)
1 25544U 98067A   22095.91869325  .00012930  00000-0  23502-3 0  9991
2 25544  51.6452 334.5328 0004408 351.0413  99.6998 15.49890618333972

MIDORI (ADEOS)          
1 24277U 96046A   09116.47337938 -.00000023  00000-0  73445-5 0   432
2 24277  98.3597  83.2073 0002090  64.7512 295.3886 14.28595439661547

ORBCOMM FM08 [+]        
1 25112U 97084A   09116.51259343  .00000203  00000-0  12112-3 0  2154
2 25112  45.0199 241.1109 0010042 194.4473 165.6089 14.34380830592834

軌道要素のうち、2行軌道要素形式には次の要素が直接含まれている。

${\displaystyle t_{0}}$ : 元期 (Epoch)

${\displaystyle i_{0}}$ : 元期における 軌道傾斜角 (inclination)

${\displaystyle \Omega _{0}}$ : 元期における 昇交点赤経 (longitude of the ascending node)

${\displaystyle e_{0}}$ : 元期における軌道離心率 (Orbital eccentricity)

${\displaystyle \omega _{0}}$ : 元期における近点引数 (Argument of periapsis)

${\displaystyle M_{0}}$ : 元期における平均近点角 (mean anomaly)

${\displaystyle n_{0}}$ : 元期における平均運動 (Mean Motion)

これらの要素は、厳密な二体問題が成立する場合は定数であるが、次のような原因による摂動で変動する。

• 地球の重力ポテンシャルの球対称からのずれ
• 地球の大気による抗力
• 太陽光圧、太陽風圧
• 地球以外の天体(月、太陽、他の惑星など)の重力

2行軌道要素形式には、主に平均運動の時間変動を補正する、次のような情報が含まれている。

${\displaystyle {\dot {n}}_{0}/2}$ : 元期における平均運動の時間についての1次微分を2で割った値。

${\displaystyle {\ddot {n}}_{0}/6}$ : 元期における平均運動の時間についての2次微分を6で割った値。

B* : 地球大気の抗力による平均運動への影響を表すパラメーター

${\displaystyle {\dot {n}}_{0}/2}$ および ${\displaystyle {\ddot {n}}_{0}/6}$ はSGPで用いられているが、SGP4では用いられていない。逆に B* はSGP4で用いられているが、SGPでは用いられていない^[3]。

SGPやSGP4では、地球の重力ポテンシャルのモデルなどを用いて、2行軌道要素形式に含まれる元期 t₀ における軌道要素の値から、任意の時刻 t における次の軌道要素の値を予測している^[3]。

${\displaystyle i}$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における軌道傾斜角

${\displaystyle \Omega }$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における昇交点赤経

${\displaystyle e}$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における軌道離心率

${\displaystyle \omega }$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における近点引数

${\displaystyle M}$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における平均近点角

${\displaystyle n}$ : 時刻 ${\displaystyle t}$おける平均運動

以下の軌道要素は、2行軌道要素形式には元期 t₀ における値が直接は含まれていないが、任意の時刻 t における平均運動 n と離心率 e から、t における値を計算可能である。

${\displaystyle a}$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における軌道長半径(Semimajor axis)

${\displaystyle l}$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における半通径(または半直弦)(semi-latus rectum)

${\displaystyle q}$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における近点距離 (Periapsis)

${\displaystyle Q}$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における遠点距離 (Ap(o)apsis)

${\displaystyle T}$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における軌道周期(Orbital period)

これらには、次のような関係がある。

${\displaystyle a={\sqrt[{3}]{\frac {GM_{E}}{n^{2}}}}}$

${\displaystyle l=a(1-e^{2})}$

${\displaystyle Q=a(1+e)}$

${\displaystyle q=a(1-e)}$

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{n}}}$

ここで GM_E は地心重力定数(万有引力定数と地球質量の積)でありGM_E = 3.986004418(8)×10¹⁴ m³ s⁻² である。

地球中心と衛星間の距離を r とすると、 r は真近点角 ν の関数として次の形に表すことができる。

${\displaystyle r={\frac {l}{1+e\cos \nu }}}$

また、r は、離心近点角 E の関数として次の形に表すことができる。

${\displaystyle r=a(1-e\cos E)}$

真近点角 ν と離心近点角 E の関係は、次のようになる。

${\displaystyle \tan {\frac {\nu }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\frac {E}{2}}}$

離心近点角 E と平均近点角 M の関係は次の式(ケプラー方程式)で表される。

${\displaystyle M=E-e\sin E}$

平均近点角 M は次の式で表される。

${\displaystyle M=M_{0}+{n_{0}}(t-t_{0})+\delta M}$

δM は摂動による M の変動を表す項であり、摂動がなければ δM = 0 である。

時刻 t における 平均運動 n は 、時刻 t における平均近点角 M の時間微分である。

${\displaystyle n={\dot {M}}=n_{0}+\delta {\dot {M}}}$

• CelesTrak
• Space track(United States Space Surveillance Network)
• Human Space Flight (HSF) - Realtime Data - NASA
• きどうようそのひみつ