ヘロンの三角形

幾何学においてヘロンの三角形（ヘロンのさんかくけい）とは、3辺の長さと面積の全てが整数となる三角形である。この名称は、3辺の長さと面積を関連付けたアレクサンドリアのヘロンに由来している。広義には、3辺の長さと面積が全て有理数であるものも含まれる。

3辺の長さがすべて整数である直角三角形は、面積も整数となる。よってこれらはすべてヘロンの三角形である。

直角三角形でないヘロンの三角形の例として、3辺の長さが 5, 5, 6 の三角形がある（面積は 12）。この三角形は合同な2つの直角三角形をつなぎ合わせたものと見ることができる。この考え方は右の図のように一般化できる。

a, b, c が直角三角形の3辺であり a, d, e もそうであるとすると、長さ a の辺で両者をつなぎ合わせた三角形（3辺の長さは c , e , b + d ）の面積は ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}(b+d)a}$ となる。a が偶数であれば A は整数である。a が奇数の場合、b と d が共に偶数となる。b+d が偶数なので、A は整数となる。

すべてのヘロンの三角形が2つの「3辺の長さが整数である直角三角形」に分割されるとは限らない。一例として、3辺の長さが 5, 29, 30 である三角形がある。この三角形の面積は 72 でありヘロンの三角形の条件を満たすが、どの方向に配置しても高さが整数とならない。最初の条件を「3辺の長さが有理数である直角三角形」に緩和すると、常に分割は可能となる。例にあげた 5, 29, 30 の三角形は、7/5, 24/5, 5 と 143/5, 24/5, 29 の2つの三角形に分割することができる。全て有理数なので、適当な整数（この場合は5）をかけることにより全ての辺を整数にすることができる。

全てのヘロンの三角形は、3辺の長さが有理数である2つの直角三角形に分割することができる。

証明

右の図において、b + d, c, e および面積 A は整数と仮定する。 b + d は c, e より長いと仮定しても一般性を失わない。この仮定により、垂線の足が辺上に来ることが保障される。c, e は有理数（整数）なので、a, b, d が有理数であることを示せばよい。

この三角形の面積の式は以下の通りである。

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}(b+d)a}$

この式を a ついて解くと以下のようになる。

${\displaystyle a={\frac {2A}{b+d}}}$

仮定より ${\displaystyle A}$ と ${\displaystyle b+d}$ が整数なので、a も有理数である。

ピタゴラスの定理より以下の2式が得られる。

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

${\displaystyle a^{2}+d^{2}=e^{2}}$

上の式から下の式を引いて変形する。

${\displaystyle b^{2}-d^{2}=c^{2}-e^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow (b-d)(b+d)=c^{2}-e^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow b-d={\frac {c^{2}-e^{2}}{b+d}}}$

c, e, b + d は整数なので b - d も有理数となる。

${\displaystyle b={\frac {(b+d)+(b-d)}{2}}}$

${\displaystyle d={\frac {(b+d)-(b-d)}{2}}}$

なので、b, d も有理数となる。

ヘロンの三角形の3辺の長さは以下の式で表すことができる^[1]。

${\displaystyle a=n(m^{2}+k^{2})\,}$

${\displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})\,}$

${\displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2})\,}$

半周長${\displaystyle =s=(a+b+c)/2=mn(m+n)\,}$

面積${\displaystyle =mnk(m+n)(mn-k^{2})\,}$

内接円の半径${\displaystyle =k(mn-k^{2})\,}$

${\displaystyle s-a=n(mn-k^{2})\,}$

${\displaystyle s-b=m(mn-k^{2})\,}$

${\displaystyle s-c=(m+n)k^{2}\,}$

m, n, k は以下の条件を満たす整数である。

${\displaystyle \gcd {(m,n,k)}=1}$

${\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)}$

${\displaystyle m\geq n\geq 1}$

上の条件を満たさない m, n, k を用いてもヘロンの三角形になるが、これは小さいヘロン三角形を拡大したものになる。例えば m = 36, n = 4, k = 3 とすると、a = 5220, b = 900, c = 5400 という三角形ができる。これは、5, 29, 30 という三角形と相似である。

面積の小さいヘロンの三角形の例をあげる。

ここでは、3辺の長さが互いに素であるヘロンの三角形を、面積・周長の順に並べている。

(5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20), (9,10,17) の5つは、周長と面積が等しい。

辺の長さが整数である正三角形の面積は無理数となるので、全ての正三角形はヘロンの三角形ではない。3辺の長さが公差1の等差数列をなす「正三角形に近い」ヘロンの三角形は無限に存在する（オンライン整数列大辞典の数列 A003500）。以下に最初のいくつかを示す。

中央の値 n は、前の n を4倍してもう1つ前の n を引いたものになっている(52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14, etc.)。漸化式で表すと以下のようになる。

${\displaystyle n_{t}=4n_{t-1}-n_{t-2}}$

この数列はリュカ数列の一種であり、${\displaystyle n=(2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}}$ と表すこともできる。面積 = A, 内接円の半径 = yとおくと、

${\displaystyle {\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1)^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}}$

となり、{n, y} の組は n² − 12y² = 4 を満たす。n = 2x と変換すると、ペル方程式 x² − 3y² = 1 が得られる。この解は√3の連分数展開によって得られる。

• ヘロンの公式

• Weisstein, Eric W. “ヘロンの三角形”. mathworld.wolfram.com (英語).
• Online Encyclopedia of Integer Sequences Heronian
• Wm. Fitch Cheney, Jr. (January 1929), “Heronian Triangles”, Am. Math. Monthly 36 (1): 22–28, JSTOR 2300173, https://jstor.org/stable/2300173 
• S. sh. Kozhegel'dinov (1994), “On fundamental Heronian triangles”, Math. Notes 55 (2): 151–6, doi:10.1007/BF02113294, http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02113294