តង់សង់អ៊ីពែបូលីក

ក្នុង​គណិតវិទ្យា អនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក​​គឺ​​ជា​ប្រភេទ​មួយ​​នៃ​អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក​។

អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក​ត្រូវបានគេកំនត់សរសេរដោយ tanh គឺជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិចដូចខាងក្រោម៖

${\displaystyle {\begin{matrix}\tanh :&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\\ &z&\longmapsto &{\frac {\sinh(z)}{\cosh(z)}}\end{matrix}}}$

ដែល ${\displaystyle \ \sinh }$ គឺជា​អនុគមន៍ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​ និង ${\displaystyle \ \cosh }$ គឺជា​អនុគមន៍កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​។ និយមន័យនេះមានលក្ខណៈដូចគ្នានឹង​អនុគមន៍តង់សង់​ដែរ ដែលតង់សង់គឺជាផលធៀបរវាងស៊ីនុស និង កូស៊ីនុស។

អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក tanh អាចសរសេរដោយប្រើប្រាស់​​អនុគមន៍អិចស្បូណង់ស្យែល៖

${\displaystyle \color {blue}\tanh(z)={\frac {e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}}={\frac {e^{2z}-1}{e^{2z}+1}}}$

• អនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក (tanh) ជាអនុគមន៍ជាប់ និង មានដេរីវេអនន្ត (មានដេរីវេមិនចេះចប់) ។
• ដេរីវេនៃអនុគមន៍​​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក (tanh) គឺ ${\displaystyle {\frac {1}{\cosh ^{2}}}}$ ។
• ព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីកគឺ ${\displaystyle \ln \left(\cosh \right)+C}$ ដែល C ជាថេរអាំងតេក្រាល​។
• អនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក tanh ជាអនុគមន៍សេស មានដែនកំនត់លើ \mathbb R និងជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាត​។
• tanh ជាចំលើយមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ងស្យែល ${\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f}$ ។

tanh ជាអនុគមន៍មានដេរីវេអនន្ត

${\displaystyle \tanh ^{(n)}(0)=\sum _{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}\left\langle {n \atop k}\right\rangle }$

ដែល ${\displaystyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle }$ ជាចំលាស់នៃ ${\displaystyle \ \{1,...,n\}}$

tanh អាចពន្លាតជាស៊េរីតេល័រចំពោះគ្រប់ចំនុចដូចខាងក្រោម៖

${\displaystyle \tanh z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {2z^{5}}{15}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\tanh ^{(n)}(0)}{(2n+1)!}}z^{2n+1}}$

tanh ជាអនុគមន៍កំនត់លើ ${\displaystyle \ \mathbb {R} }$ និងអាចពន្លាតជាប្រភាគបន្តបន្ទាប់ដូចតទៅ៖

${\displaystyle \tanh x={\frac {x}{1+{\frac {x^{2}}{3+{\frac {x^{3}}{5+\cdots }}}}}}}$

តំលៃមួយចំនួននៃ tanh

• ${\displaystyle \ \tanh(0)=0}$
• ${\displaystyle \tanh(1)={\frac {e^{2}-1}{e^{2}+1}}}$
• ${\displaystyle \ \tanh(i)=i\tan(1)}$

អនុគមន៍ច្រាស់នៃអនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក tanh តាងដោយ artanh ឬ arctanh ឬ ${\displaystyle \ \tanh ^{-1}}$ (ហៅថា​អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីកច្រាស់)។ វាជាអនុគមន៍ពហុតំលៃកុំផ្លិច។ សាខាគោលការណ៍ (Principal branch) គឺជាជំរើសទូទៅដោយការពុះចែកអង្កត់ ${\displaystyle \left]-\infty ;-1\right[}$ និង ${\displaystyle \left]1;+\infty \right[}$ ។

${\displaystyle \operatorname {artanh} (z)={\frac {1}{2}}\left(\ln(1+z)-ln(1-z)\right)}$

ចំពោះ ${\displaystyle x\in \left]-1;1\right[}$ អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក tanh មាន​ដែនកំនត់​លើ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ហើយ​អនុគមន៍ច្រាស់​របស់​វា​កំនត់ដោយ៖

${\displaystyle artanh(x)={\frac {1}{2}}ln\left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}$ ។

• អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
• ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក
• កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក
• កូតង់សង់អ៊ីពែបូលីក