លីមីត

អនុគមន៍ ${\displaystyle f(x)\,}$ មានលីមីត ${\displaystyle L\,}$ កាលណា ${\displaystyle x\,}$ ខិតជិត ${\displaystyle c\,}$ មានន័យថា ចំពោះគ្រប់ចំនួន ${\displaystyle \varepsilon >0\,}$ គេមានចំនួន ${\displaystyle \delta >0\,}$ ដែល ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta \,}$ គេបាន ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon \,}$ ។

ឬ សរសេរជាទំរង់សញ្ញា

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \ \exists \delta >0\ \ \forall x(0<|x-c|<\delta \ \rightarrow \ |f(x)-L|<\varepsilon )}$។

គេសរសេរ :${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$

ឧទាហរណ៍ ប្រើនិយមន័យបង្ហាញថា :${\displaystyle \lim _{x\to 1}(5x-3)=2\,}$ ។

តាមនិយមន័យគេបាន ${\displaystyle c=1\,;\,f(x)=5x-3\,}$ និង ${\displaystyle L=2\,}$ ។

ដើម្បីបង្ហាញថា  :${\displaystyle \lim _{x\to 1}(5x-3)=2\,}$ គេត្រូវបង្ហាញថា គ្រប់ចំនួន ${\displaystyle \varepsilon >0\,}$ គេមានចំនួន ${\displaystyle \delta >0\,}$ ដែល ${\displaystyle 0<|x-1|<\delta \,}$ នាំអោយ ${\displaystyle |(5x-3)-2|<\varepsilon \,}$ ។

បើ ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$ និង ${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=M}$ ហើយ ${\displaystyle L;M;K\,}$ ជាចំនួនពិត។

១. ${\displaystyle \lim _{x\to c}[f(x)\pm g(x)]=L\pm M\,}$

២. ${\displaystyle \lim _{x\to c}[f(x)\cdot g(x)]=L\cdot M\,}$

៣. ${\displaystyle \lim _{x\to c}Kf(x)=K\cdot L\,}$

៤. ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L}{M}}\,}$ បើ ${\displaystyle M\neq 0\,}$

៥. ${\displaystyle \lim _{x\to c}[f(x)]^{n}=L^{n}\,\,n}$ ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន។

លីមីតនៃអនុគមន៍ពហុធា

បើ ${\displaystyle p\,}$ ជាអនុគមន៍ពហុធា និង ${\displaystyle c\,}$ ជាចំនួនពិតគេបាន ${\displaystyle \lim _{x\to c}p(x)=p(c)\,}$ ។

សំរាយបញ្ជាក់ : គេអោយអនុគមន៍ ${\displaystyle p\,}$ ដែល ${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}\,}$

អនុវត្តផលបូកលីមីត និង ផលគុណចំនួនថេរគេបាន

${\displaystyle \lim _{x\to c}p(x)=a_{n}[\lim _{x\to c}x^{n}]+...+a_{1}[\lim _{x\to c}x]+\lim _{x\to c}a_{0}\,}$ ។ ដូចនេះ គេបាន ${\displaystyle \lim _{x\to c}p(x)=a_{n}c^{n}+...+a_{1}c+a_{0}=p(c)\,}$ ។

លីមីតនៃអនុគមន៍សនិទាន

បើ ${\displaystyle r\,}$ ជាអនុគមន៍សនិទាន ដែល ${\displaystyle r(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}\,}$ និង ${\displaystyle c\,}$ ជាចំនួនពិតដែល ${\displaystyle q(c)\neq 0\,}$ នោះគេបាន ${\displaystyle \lim _{x\to c}r(x)=r(c)={\frac {p(c)}{q(c)}}\,}$ ។

សំរាយបញ្ជាក់ : តាមទ្រឹស្តីបទ២ គេបាន ${\displaystyle \lim _{x\to c}p(x)=p(c)\,}$ និង ${\displaystyle \lim _{x\to c}q(x)=q(c)\,}$ ។ ដោយ ${\displaystyle q(c)\neq 0\,}$ គេអនុវត្តលក្ខណៈ៤នៃទ្រឹស្តីបទ១ ។

គេបាន ${\displaystyle \lim _{x\to c}r(x)=\lim _{x\to c}{\frac {p(x)}{q(x)}}={\frac {\lim _{x\to c}p(x)}{\lim _{x\to c}q(x)}}=r(c)\,}$ ។

លីមីតនៃអនុគមន៍ជាប់រ៉ាឌីកាល់ (រឺ អនុគមន៍អសនិទាន)

• បើ ${\displaystyle c>0\,}$ និង ${\displaystyle n\,}$ ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន រឺ បើ ${\displaystyle c\leq 0\,}$និង ${\displaystyle n\,}$ ជាសំនួនសេស

• ​ គេបាន ${\displaystyle lim_{x\to c}{\sqrt[{n}]{x}}={\sqrt[{n}]{c}}\,}$ ។

• បើ ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$ និង ${\displaystyle c\,}$ ជាចំនួនពិតគេបាន ${\displaystyle lim_{x\to c}{\sqrt[{n}]{f(x)}}={\sqrt[{n}]{\lim _{x\to c}f(x)}}={\sqrt[{n}]{L}}=(L)^{\frac {1}{n}}\,}$ ។

${\displaystyle L>0\,}$ និង ${\displaystyle n\,}$ ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន ឬ ${\displaystyle L\leq 0\,}$ និង ${\displaystyle n\,}$ ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមានសេស។

លីមីតនៃអនុគមន៍បណ្តាក់

បើ ${\displaystyle f\,}$ និង ${\displaystyle g\,}$ ជាអនុគមន៍ដែល ${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L\,}$ និង ${\displaystyle \lim _{x\to L}f(x)=f(L)\,}$ នោះ​ ${\displaystyle \lim _{x\to c}f[g(x)]=f(L)\,}$ ។

លីមីតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

បើ ${\displaystyle c\,}$ ជាចំនួនពិតស្ថិតក្នុងដែនកំនត់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែលអោយ គេបាន

១. ${\displaystyle \lim _{x\to c}sinx=sinc\,}$

២. ${\displaystyle \lim _{x\to c}cosx=cosc\,}$

៣. ${\displaystyle \lim _{x\to c}tanx=tanc\,}$

៤. ${\displaystyle \lim _{x\to c}cotx=cotc\,}$ ។

លីមីតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រសំខាន់

១. ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {sinx}{x}}=1\,}$

២. ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-cosx}{x}}=0\,}$

Lim {x \to 0}