អាំងតេក្រាលផ្ទៃ

ក្នុងគណិតវិទ្យា អាំងតក្រាលផ្ទៃគឺជាអាំងតេក្រាលកំនត់លើគ្រប់ផ្ទៃដែលអាចជាខ្សែកោងក្នុងលំហ។ វាអាចត្រូវបានគេចាត់ទុកថាមាន​លក្ខណៈ​ស្រដៀងគ្នា​នឹង​អាំងតេក្រាលខ្សែកោង។ ចំពោះផ្ទៃដែលផ្តល់អោយ គេអាចធ្វើអាំងតេក្រាលនៅលើដែនស្កាលែ ឬ ដែនវ៉ិចទ័រ។

អាំងតេក្រាលផ្ទៃមានអនុវត្តន៍មួយចំនួនក្នុងរូបវិទ្យា ជាពិសេសជាមួយនឹងទ្រឹស្តីបទអេឡិចត្រូម៉ាញេទិចក្លាស់សិច។

${\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|ds\,dt}$

${\displaystyle A=\int _{S}\,dS=\iint _{T}\left|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right|dx\,dy}$

ដែល ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}$ ។ ហេតុនេះ ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))}$ និង ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}$

ហេតុនេះ

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}\left|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,dS=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)ds\,dt}$