អេលីប

អេលីបគឺជាសំនុំចំនុច​${\displaystyle P(x;y)\,}$ នៅក្នុងប្លង់ដែលមានផលបូកនៃចំងាយរវាងចំនុច ​${\displaystyle P(x;y)\,}$ ទៅនឹងចំនុចនឹងពីរជាចំនួនថេរ(ស្មើនឹង ${\displaystyle 2a\,}$​) ។ ចំនុចនឹងពីរនោះហៅថាកំនុំ ។

តំរង់ស្តង់ដានៃសមីការអេលីបដែលមានផ្ចិត ${\displaystyle (h;k)\,}$ ហើយអ័ក្សធំមានប្រវែងស្មើនឹង ${\displaystyle 2a\,}$ និងអ័ក្សតូចមានប្រវែងស្មើនឹង ${\displaystyle 2b\,;\,a>b>0\,}$ មានសមីការ៖

ក. ${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}\,+\,{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}\,=\,1\,}$ បើអ័ក្សធំជាអ័ក្សដេក។

ខ. ${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}\,+\,{\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}\,=\,1\,}$ បើអ័ក្សធំជាអ័ក្សឈរ។

កំនុំទាំងពីរស្ថិតនៅលើអ័ក្សធំចំងាយ ${\displaystyle c\,}$ ឯកតាពីផ្ចិត ហើយ ${\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}\,}$ BR

ទំរង់ទូទៅរបស់សមីការអេលីបមានរាង ${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0\,}$ ដែល ${\displaystyle A\neq 0\,}$ និង ${\displaystyle B\neq 0\,}$ ។

បើផ្ចិតរបស់អេលីបស្ថិតនៅចំគល់អ័ក្ស គេបានទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការអេលីបដែលមាន ៖

ក. ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\,+\,{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\,=\,1\,}$ បើអ័ក្សធំជាអ័ក្សដេក។

ខ. ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{b^{2}}}\,+\,{\frac {y^{2}}{a^{2}}}\,=\,1\,}$ បើអ័ក្សធំជាអ័ក្សឈរ។

ចំពោះអេលីបដែលមានផ្ចិតទូទៅ

${\displaystyle x=h+a\,\cos t\!}$

${\displaystyle y=k+b\,\sin t\!}$

ដែល ${\displaystyle t\,}$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ ${\displaystyle -\pi \leq t\leq \pi }$ ។

ចំពោះអេលីបដែលមានផ្ចិតត្រង់គល់អ័ក្ស

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}\quad t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}\qquad \theta \in \mathbb {R} }$

ឬ

${\displaystyle r^{2}={\frac {b^{2}}{1-e^{2}\cos ^{2}\theta }}\qquad \theta \in \mathbb {R} }$

បើគេមានសមីការអេលីបរាង ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\,+\,{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\,=\,1\,}$ នាំអោយ

${\displaystyle y=b{\sqrt {1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}}}$

ចំពោះ ${\displaystyle x}$ ក្នុងចន្លោះ ${\displaystyle [0,a]}$។

គេបាន :${\displaystyle I=\int _{0}^{a}b{\sqrt {1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=ab\int _{0}^{1}{\sqrt {1-t^{2}}}\,\mathrm {d} t=ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}u\,\mathrm {d} u}$

ដោយប្តូរអថេរ ${\displaystyle u\mapsto \sin u=t}$ ក្នុងចន្លោះ ${\displaystyle [0,\pi /2]}$ លើ ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle I=ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1+\cos 2u}{2}}\,\mathrm {d} u={\frac {\pi ab}{4}}}$ ជា${\displaystyle {\frac {1}{4}}\,}$ នៃផ្ទៃរបស់អេលីប។

ចំពោះគ្រប់អេលីប :${\displaystyle S=\pi ab\,}$ ។

ចំនាំ ៖ បើ ${\displaystyle a=b\,}$ នោះផ្ទៃរបស់អេលីបក្លាយជាផ្ទៃរង្វង់។