가우스 구적법

수치해석학에서 카를 프리드리히 가우스의 이름을 딴 n점 가우스 구적법(Gaussian quadrature)은 i = 1, ..., n에 대해 노드 x_i 및 가중치 w_i를 적절히 선택하여 차수 2n − 1 이하의 다항식에 대해 정확한 결과를 얻도록 구성된 구적법이다.^[1]

직교 다항식을 사용한 현대적인 공식은 1826년 카를 구스타프 야코프 야코비에 의해 개발되었다.^[2] 이러한 규칙에 대한 가장 일반적인 적분 영역은 [−1, 1]로 간주되므로 규칙은 다음과 같이 표현된다. $${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}),}$$

이것은 차수 2n − 1 이하의 다항식에 대해 정확하다. 이 정확한 규칙은 가우스-르장드르 구적법 규칙으로 알려져 있다. 이 구적법 규칙은 f (x)가 [−1, 1]에서 차수 2n − 1 이하의 다항식으로 잘 근사될 때만 위의 적분에 대한 정확한 근사값이 된다.

가우스-르장드르 구적법 규칙은 일반적으로 끝점 특이점을 가진 적분 가능한 함수에는 사용되지 않는다. 대신 피적분 함수를 다음과 같이 쓸 수 있다면

$${\displaystyle f(x)=\left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta }g(x),\quad \alpha ,\beta >-1,}$$

여기서 g(x)는 낮은 차수의 다항식으로 잘 근사된다면, 대안적인 노드 x_i'와 가중치 w_i'가 일반적으로 더 정확한 구적법 규칙을 제공한다. 이것들은 가우스-야코비 구적법 규칙으로 알려져 있다. 즉,

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}\left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta }g(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}'g\left(x_{i}'\right).}$$

일반적인 가중치로는 ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ (체비쇼프-가우스) 및 ${\textstyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$이 포함된다. 또한 반무한(가우스-라게르 구적법) 및 무한 구간(가우스-에르미트 구적법)에 대해 적분할 수도 있다.

가우스 구적법 노드와 가중치를 계산하기 위한 핵심 관찰인 구적법 노드 x_i가 직교 다항식 클래스(가중 내적에 대해 직교하는 클래스)에 속하는 다항식의 근이라는 것을 보일 수 있다 (Press 외 또는 Stoer와 Bulirsch 참조).

 가우스-르장드르 구적법 문서에 이 부분의 추가 정보가 있습니다.

위에서 언급한 가장 간단한 적분 문제, 즉 ${\displaystyle [-1,1]}$에서 f(x)가 다항식으로 잘 근사되는 경우, 관련 직교 다항식은 P_n(x)로 표기되는 르장드르 다항식이다. n번째 다항식을 P_n(1) = 1로 정규화하면, i번째 가우스 노드 x_i는 P_n의 i번째 근이며 가중치는 다음 공식으로 주어진다.^[3] $${\displaystyle w_{i}={\frac {2}{\left(1-x_{i}^{2}\right)\left[P'_{n}(x_{i})\right]^{2}}}.}$$

일부 저차 구적법 규칙은 아래에 표로 정리되어 있다 (구간 [−1, 1]에 대한 내용이며, 다른 구간에 대해서는 아래 섹션을 참조).

점의 개수, n	점, xi		가중치, wi
1	0		2
2	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	±0.57735...	1
3	0		${\displaystyle {\frac {8}{9}}}$	0.888889...
	${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$	±0.774597...	${\displaystyle {\frac {5}{9}}}$	0.555556...
4	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}$	±0.339981...	${\displaystyle {\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}}$	0.652145...
	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}$	±0.861136...	${\displaystyle {\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}}$	0.347855...
5	0		${\displaystyle {\frac {128}{225}}}$	0.568889...
	${\displaystyle \pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}$	±0.538469...	${\displaystyle {\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}}$	0.478629...
	${\displaystyle \pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}$	±0.90618...	${\displaystyle {\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}}$	0.236927...

가우스 구적법 규칙을 적용하기 전에 [a, b]에 대한 적분을 [−1, 1]에 대한 적분으로 변경해야 한다. 이 구간 변경은 다음과 같이 할 수 있다. $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}\xi +{\frac {a+b}{2}}\right)\,{\frac {dx}{d\xi }}d\xi }$$

여기서 ${\displaystyle {\frac {dx}{d\xi }}={\frac {b-a}{2}}}$

${\displaystyle n}$점 가우스 구적법 ${\displaystyle (\xi ,w)}$ 규칙을 적용하면 다음 근사값이 나온다. $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}f\left({\frac {b-a}{2}}\xi _{i}+{\frac {a+b}{2}}\right).}$$

2점 가우스 구적법 규칙을 사용하여 로켓이 ${\displaystyle t=8\mathrm {s} }$에서 ${\displaystyle t=30\mathrm {s} }$까지 이동한 거리를 다음과 같이 근사한다. $${\displaystyle s=\int _{8}^{30}{\left(2000\ln \left[{\frac {140000}{140000-2100t}}\right]-9.8t\right){dt}}}$$

표 1에 주어진 가중치와 절편을 사용할 수 있도록 적분 한계를 변경한다. 또한 절대 상대 오차를 구한다. 실제 값은 11061.34m로 주어진다.

해결

먼저 적분 한계를 ${\displaystyle \left[8,30\right]}$에서 ${\displaystyle \left[-1,1\right]}$로 변경하면

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{8}^{30}{f(t)dt}&={\frac {30-8}{2}}\int _{-1}^{1}{f\left({\frac {30-8}{2}}x+{\frac {30+8}{2}}\right){dx}}\\&=11\int _{-1}^{1}{f\left(11x+19\right){dx}}\end{aligned}}}$$

다음으로 표 1에서 2점 규칙에 대한 가중치 인자와 함수 인수 값을 얻는다.

• ${\displaystyle c_{1}=1.000000000}$
• ${\displaystyle x_{1}=-0.577350269}$
• ${\displaystyle c_{2}=1.000000000}$
• ${\displaystyle x_{2}=0.577350269}$

이제 가우스 구적법 공식을 사용할 수 있다. $${\displaystyle {\begin{aligned}11\int _{-1}^{1}{f\left(11x+19\right){dx}}&\approx 11\left[c_{1}f\left(11x_{1}+19\right)+c_{2}f\left(11x_{2}+19\right)\right]\\&=11\left[f\left(11(-0.5773503)+19\right)+f\left(11(0.5773503)+19\right)\right]\\&=11\left[f(12.64915)+f(25.35085)\right]\\&=11\left[(296.8317)+(708.4811)\right]\\&=11058.44\end{aligned}}}$$ 이유는 다음과 같다. $${\displaystyle {\begin{aligned}f(12.64915)&=2000\ln \left[{\frac {140000}{140000-2100(12.64915)}}\right]-9.8(12.64915)\\&=296.8317\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(25.35085)&=2000\ln \left[{\frac {140000}{140000-2100(25.35085)}}\right]-9.8(25.35085)\\&=708.4811\end{aligned}}}$$

실제 값이 11061.34m이므로 절대 상대 오차 ${\displaystyle \left|\varepsilon _{t}\right|}$는 다음과 같다. $${\displaystyle \left|\varepsilon _{t}\right|=\left|{\frac {11061.34-11058.44}{11061.34}}\right|\times 100\%=0.0262\%}$$

적분 문제는 피적분 함수에 양의 무게 함수 ω를 도입하고 [−1, 1] 이외의 구간을 허용함으로써 약간 더 일반적인 방식으로 표현될 수 있다. 즉, 문제는 다음을 계산하는 것이다. $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,f(x)\,dx}$$ a, b, ω를 일부 선택한다. a = −1, b = 1, ω(x) = 1의 경우 문제는 위에서 고려한 것과 동일하다. 다른 선택은 다른 적분 규칙으로 이어진다. 이들 중 일부는 아래에 표로 정리되어 있다. Abramowitz and Stegun (A & S)에 대한 방정식 번호가 주어진다.

구간	ω(x)	직교 다항식	A & S	더 자세한 내용은 ...
[−1, 1]	1	르장드르 다항식	25.4.29	§ 가우스-르장드르 구적법
(−1, 1)	${\displaystyle \left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta },\quad \alpha ,\beta >-1}$	야코비 다항식	25.4.33 (β = 0)	가우스-야코비 구적법
(−1, 1)	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	체비쇼프 다항식 (1종)	25.4.38	체비쇼프-가우스 구적법
[−1, 1]	${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$	체비쇼프 다항식 (2종)	25.4.40	체비쇼프-가우스 구적법
[0, ∞)	${\displaystyle e^{-x}\,}$	라게르 다항식	25.4.45	가우스-라게르 구적법
[0, ∞)	${\displaystyle x^{\alpha }e^{-x},\quad \alpha >-1}$	일반화된 라게르 다항식		가우스-라게르 구적법
(−∞, ∞)	${\displaystyle e^{-x^{2}}}$	에르미트 다항식	25.4.46	가우스-에르미트 구적법

p_n을 다음과 같은 차수 n의 자명하지 않은 다항식이라고 하자. $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,x^{k}p_{n}(x)\,dx=0,\quad {\text{for all }}k=0,1,\ldots ,n-1.}$$

위의 모든 직교 다항식에 대해 이것이 참이라는 점에 유의하라. 왜냐하면 각 p_n은 j<n에 대해 다른 다항식 p_j에 대해 직교하도록 구성되어 있으며, x^k는 그 집합의 스팬에 있기 때문이다.

n개의 노드 x_i를 p_n의 근으로 선택하면, 차수 2n − 1 이하의 모든 다항식 h(x)에 대해 가우스 구적법 계산 적분을 정확하게 만드는 n개의 가중치 w_i가 존재한다. 또한 이 모든 노드 x_i는 열린 구간 (a, b)에 놓인다.^[4]

이 주장의 첫 번째 부분을 증명하기 위해, 차수 2n − 1 이하의 임의의 다항식 h(x)를 취한다. 이를 직교 다항식 p_n으로 나누면 다음과 같다. $${\displaystyle h(x)=p_{n}(x)\,q(x)+r(x).}$$ 여기서 q(x)는 차수 n − 1 이하인 몫이며(그 차수와 제수 p_n의 차수의 합은 피제수의 차수와 같아야 하므로), r(x)은 나머지이며 역시 차수 n − 1 이하이다(나머지의 차수는 항상 제수의 차수보다 작기 때문). p_n은 가정에 따라 차수 n 미만의 모든 단항식에 직교하므로 몫 q(x)에 직교해야 한다. 따라서 $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,h(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,{\big (}\,p_{n}(x)q(x)+r(x)\,{\big )}\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx.}$$

나머지 r(x)는 차수 n − 1 이하이므로 라그랑주 다항식 l_i(x)을 사용하여 n개의 보간점을 사용하여 정확하게 보간할 수 있다. 여기서 $${\displaystyle l_{i}(x)=\prod _{j\neq i}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}.}$$

다음이 성립한다. $${\displaystyle r(x)=\sum _{i=1}^{n}l_{i}(x)\,r(x_{i}).}$$

그러면 그것의 적분은 다음과 같다. $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,\sum _{i=1}^{n}l_{i}(x)\,r(x_{i})\,dx=\sum _{i=1}^{n}\,r(x_{i})\,\int _{a}^{b}\omega (x)\,l_{i}(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}\,r(x_{i})\,w_{i},}$$

여기서 노드 x_i와 관련된 가중치 w_i는 l_i(x)의 가중 적분과 같도록 정의된다 (가중치에 대한 다른 공식은 아래 참조). 그러나 모든 x_i는 p_n의 근이므로 위 나눗셈 공식에 의해 다음이 성립한다. $${\displaystyle h(x_{i})=p_{n}(x_{i})\,q(x_{i})+r(x_{i})=r(x_{i}),}$$ 모든 i에 대해. 따라서 최종적으로 다음을 얻는다. $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,h(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,r(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,h(x_{i}).}$$

이는 차수 2n − 1 이하의 모든 다항식 h(x)에 대해 그 적분이 가우스 구적법 합계로 정확하게 주어진다는 것을 증명한다.

주장의 두 번째 부분을 증명하기 위해, 다항식 p_n의 인수 분해된 형태를 고려한다. 임의의 켤레 복소수 근은 실수 전체에 걸쳐 엄격히 양수 또는 엄격히 음수인 이차 인수를 생성한다. 구간 a에서 b 외부의 근에 해당하는 인수는 해당 구간에 걸쳐 부호를 변경하지 않는다. 마지막으로 구간 a에서 b 내부의 근 x_i에 해당하는 홀수 차수 인수의 경우, p_n에 하나의 인수를 더 곱하여 새로운 다항식을 만든다. $${\displaystyle p_{n}(x)\,\prod _{i}(x-x_{i}).}$$

이 다항식은 해당 구간 내의 모든 근이 이제 짝수 차수이므로 구간 a에서 b에 걸쳐 부호를 변경할 수 없다. 따라서 적분은 $${\displaystyle \int _{a}^{b}p_{n}(x)\,\left(\prod _{i}(x-x_{i})\right)\,\omega (x)\,dx\neq 0,}$$ 무게 함수 ω(x)는 항상 음수가 아니기 때문이다. 그러나 p_n은 차수 n − 1 이하의 모든 다항식에 직교하므로 곱의 차수는 $${\displaystyle \prod _{i}(x-x_{i})}$$ 최소 n이어야 한다. 따라서 p_n은 구간 a에서 b에 n개의 서로 다른 실수 근을 가진다.

가중치는 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle w_{i}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}{\frac {\int _{a}^{b}\omega (x)p_{n-1}(x)^{2}dx}{p'_{n}(x_{i})p_{n-1}(x_{i})}}}$

(1)

여기서 ${\displaystyle a_{k}}$는 ${\displaystyle p_{k}(x)}$에서 ${\displaystyle x^{k}}$의 계수이다. 이를 증명하기 위해 라그랑주 보간을 사용하여 r(x)를 ${\displaystyle r(x_{i})}$로 표현할 수 있음을 유의하라. $${\displaystyle r(x)=\sum _{i=1}^{n}r(x_{i})\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}}$$ 왜냐하면 r(x)는 차수가 n보다 작아서 n개의 다른 점에서 가지는 값에 의해 고정되기 때문이다. 양변에 ω(x)를 곱하고 a에서 b까지 적분하면 $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)r(x)dx=\sum _{i=1}^{n}r(x_{i})\int _{a}^{b}\omega (x)\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}dx}$$

따라서 가중치 w_i는 다음과 같이 주어진다. $${\displaystyle w_{i}=\int _{a}^{b}\omega (x)\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}dx}$$

${\displaystyle w_{i}}$에 대한 이 적분 표현식은 직교 다항식 ${\displaystyle p_{n}(x)}$와 ${\displaystyle p_{n-1}(x)}$로 다음과 같이 표현할 수 있다.

다음과 같이 쓸 수 있다. $${\displaystyle \prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\left(x-x_{j}\right)={\frac {\prod _{1\leq j\leq n}\left(x-x_{j}\right)}{x-x_{i}}}={\frac {p_{n}(x)}{a_{n}\left(x-x_{i}\right)}}}$$

여기서 ${\displaystyle a_{n}}$은 ${\displaystyle p_{n}(x)}$에서 ${\displaystyle x^{n}}$의 계수이다. L'Hôpital의 정리를 사용하여 x가 ${\displaystyle x_{i}}$로 가는 극한을 취하면 $${\displaystyle \prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\left(x_{i}-x_{j}\right)={\frac {p'_{n}(x_{i})}{a_{n}}}}$$

따라서 가중치에 대한 적분 표현식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{p'_{n}(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx}$

(2)

적분에서 다음과 같이 쓴다. $${\displaystyle {\frac {1}{x-x_{i}}}={\frac {1-\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}}{x-x_{i}}}+\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}{\frac {1}{x-x_{i}}}}$$

다음이 나온다. $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {x^{k}p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx=x_{i}^{k}\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx}$$

${\displaystyle k\leq n}$인 경우, 왜냐하면 $${\displaystyle {\frac {1-\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}}{x-x_{i}}}}$$ 는 차수 k − 1의 다항식이며 ${\displaystyle p_{n}(x)}$에 대해 직교한다. 따라서 q(x)가 최대 n차 다항식이라면 다음이 성립한다. $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {1}{q(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {q(x)p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx}$$

${\displaystyle q(x)=p_{n-1}(x)}$에 대해 오른쪽 적분을 다음과 같이 평가할 수 있다. ${\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}}$는 차수 n − 1의 다항식이므로 $${\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}=a_{n}x^{n-1}+s(x)}$$ 여기서 s(x)는 차수 ${\displaystyle n-2}$의 다항식이다. s(x)는 ${\displaystyle p_{n-1}(x)}$에 대해 직교하므로 $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {a_{n}}{p_{n-1}(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x)p_{n-1}(x)x^{n-1}dx}$$

그러면 다음과 같이 쓸 수 있다. $${\displaystyle x^{n-1}=\left(x^{n-1}-{\frac {p_{n-1}(x)}{a_{n-1}}}\right)+{\frac {p_{n-1}(x)}{a_{n-1}}}}$$

괄호 안의 항은 차수 ${\displaystyle n-2}$의 다항식이므로 ${\displaystyle p_{n-1}(x)}$에 대해 직교한다. 따라서 적분은 다음과 같이 쓸 수 있다. $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {a_{n}}{a_{n-1}p_{n-1}(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x)p_{n-1}(x)^{2}dx}$$

방정식 (2)에 따라 가중치는 이것을 ${\displaystyle p'_{n}(x_{i})}$로 나누어 얻으며, 이는 방정식 (1)의 표현식을 산출한다.

${\displaystyle w_{i}}$는 직교 다항식 ${\displaystyle p_{n}(x)}$와 이제 ${\displaystyle p_{n+1}(x)}$를 사용하여 표현할 수도 있다. 3항 점화식 ${\displaystyle p_{n+1}(x_{i})=(a)p_{n}(x_{i})+(b)p_{n-1}(x_{i})}$에서 ${\displaystyle p_{n}(x_{i})}$ 항은 사라지므로 Eq. (1)의 ${\displaystyle p_{n-1}(x_{i})}$는 ${\textstyle {\frac {1}{b}}p_{n+1}\left(x_{i}\right)}$로 대체될 수 있다.

차수 ${\displaystyle 2n-2}$의 다음 다항식을 고려한다. $${\displaystyle f(x)=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {\left(x-x_{j}\right)^{2}}{\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}}}$$ 여기서, 위에서처럼, x_j는 다항식 ${\displaystyle p_{n}(x)}$의 근이다. 분명히 ${\displaystyle f(x_{j})=\delta _{ij}}$이다. ${\displaystyle f(x)}$의 차수는 ${\displaystyle 2n-1}$보다 작으므로 ${\displaystyle p_{n}(x)}$에서 얻은 가중치와 노드를 포함하는 가우스 구적법 공식이 적용된다. j가 i와 같지 않을 때 ${\displaystyle f(x_{j})=0}$이므로, 다음이 성립한다. $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)f(x)dx=\sum _{j=1}^{n}w_{j}f(x_{j})=\sum _{j=1}^{n}\delta _{ij}w_{j}=w_{i}>0.}$$

${\displaystyle \omega (x)}$와 ${\displaystyle f(x)}$ 모두 음이 아닌 함수이므로 ${\displaystyle w_{i}>0}$이 성립한다.

가우스 구적법 규칙의 노드 x_i와 가중치 w_i를 계산하는 많은 알고리즘이 있다. 가장 널리 사용되는 방법은 O(n²) 연산이 필요한 골룹-웰시 알고리즘, 평가에 3항 점화식을 사용하는 ${\displaystyle p_{n}(x)=0}$을 해결하기 위한 뉴턴 방법(이는 O(n²) 연산이 필요함), 그리고 큰 n에 대해 O(n) 연산이 필요한 점근 공식이 있다.

스칼라 곱 ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$에 대해 ${\displaystyle r\neq s}$일 때 ${\displaystyle (p_{r},p_{s})=0}$을 만족하고 차수 ${\displaystyle (p_{r})=r}$이며 선행 계수가 1인 직교 다항식 ${\displaystyle p_{r}}$(일계수 다항식)는 다음 점화식을 만족한다. $${\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r,r})p_{r}(x)-a_{r,r-1}p_{r-1}(x)\cdots -a_{r,0}p_{0}(x)}$$

및 스칼라 곱은 다음과 같이 정의된다. $${\displaystyle (f(x),g(x))=\int _{a}^{b}\omega (x)f(x)g(x)dx}$$

${\displaystyle r=0,1,\ldots ,n-1}$에 대해 여기서 n은 무한대로 취할 수 있는 최대 차수이며, 여기서 ${\textstyle a_{r,s}={\frac {\left(xp_{r},p_{s}\right)}{\left(p_{s},p_{s}\right)}}}$이다. 우선, ${\displaystyle p_{0}(x)=1}$로 시작하는 점화식으로 정의된 다항식은 선행 계수가 1이고 올바른 차수를 가진다. ${\displaystyle p_{0}}$로 시작점을 주면 ${\displaystyle p_{r}}$의 직교성은 귀납법으로 보일 수 있다. ${\displaystyle r=s=0}$에 대해 다음이 성립한다. $${\displaystyle (p_{1},p_{0})=(x-a_{0,0})(p_{0},p_{0})=(xp_{0},p_{0})-a_{0,0}(p_{0},p_{0})=(xp_{0},p_{0})-(xp_{0},p_{0})=0.}$$

이제 ${\displaystyle p_{0},p_{1},\ldots ,p_{r}}$이 직교하면 ${\displaystyle p_{r+1}}$도 직교한다. 왜냐하면 다음 식에서 $${\displaystyle (p_{r+1},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-a_{r,r}(p_{r},p_{s})-a_{r,r-1}(p_{r-1},p_{s})\cdots -a_{r,0}(p_{0},p_{s})}$$ 모든 스칼라 곱은 첫 번째 곱과 ${\displaystyle p_{s}}$가 같은 직교 다항식을 만나는 곳을 제외하고는 사라진다. 따라서 $${\displaystyle (p_{r+1},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-a_{r,s}(p_{s},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-(xp_{r},p_{s})=0.}$$

그러나 스칼라 곱이 ${\displaystyle (xf,g)=(f,xg)}$를 만족하면(가우스 구적법의 경우 해당), 점화식은 3항 점화식으로 축소된다. ${\displaystyle s<r-1}$이면 ${\displaystyle xp_{s}}$는 차수 r − 1 이하인 다항식이다. 반면에 ${\displaystyle p_{r}}$은 차수 r − 1 이하인 모든 다항식에 직교한다. 따라서 s < r − 1에 대해 ${\displaystyle (xp_{r},p_{s})=(p_{r},xp_{s})=0}$ 및 ${\displaystyle a_{r,s}=0}$이 성립한다. 그러면 점화식은 다음으로 간단해진다. $${\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r,r})p_{r}(x)-a_{r,r-1}p_{r-1}(x)}$$

또는 $${\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r})p_{r}(x)-b_{r}p_{r-1}(x)}$$

(규약 ${\displaystyle p_{-1}(x)\equiv 0}$을 사용) 여기서 $${\displaystyle a_{r}:={\frac {(xp_{r},p_{r})}{(p_{r},p_{r})}},\qquad b_{r}:={\frac {(xp_{r},p_{r-1})}{(p_{r-1},p_{r-1})}}={\frac {(p_{r},p_{r})}{(p_{r-1},p_{r-1})}}}$$

(마지막 식은 ${\displaystyle (xp_{r},p_{r-1})=(p_{r},xp_{r-1})=(p_{r},p_{r})}$ 때문이다. 왜냐하면 ${\displaystyle xp_{r-1}}$은 차수 r 미만의 다항식으로 ${\displaystyle p_{r}}$과 다르기 때문).

3항 점화식은 행렬 형식 ${\displaystyle J{\tilde {P}}=x{\tilde {P}}-p_{n}(x)\mathbf {e} _{n}}$으로 쓸 수 있다. 여기서 ${\displaystyle {\tilde {P}}={\begin{bmatrix}p_{0}(x)&p_{1}(x)&\cdots &p_{n-1}(x)\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$은 ${\displaystyle n}$번째 표준 기저 벡터, 즉 ${\displaystyle \mathbf {e} _{n}={\begin{bmatrix}0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$이고, J는 다음 3중 대각 행렬이며 야코비 행렬이라고 한다. $${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}a_{0}&1&0&\cdots &0\\b_{1}&a_{1}&1&\ddots &\vdots \\0&b_{2}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &a_{n-2}&1\\0&\cdots &0&b_{n-1}&a_{n-1}\end{bmatrix}}.}$$

가우스 구적법의 노드로 사용되는 차수 n까지의 다항식의 근 ${\displaystyle x_{j}}$는 이 행렬의 고유값을 계산하여 찾을 수 있다. 이 절차는 골룹-웰시 알고리즘으로 알려져 있다.

가중치와 노드를 계산하기 위해 다음 요소가 있는 대칭 3중 대각 행렬 ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$를 고려하는 것이 좋다. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {J}}_{k,i}=J_{k,i}&=a_{k-1}&k&=1,2,\ldots ,n\\[2.1ex]{\mathcal {J}}_{k-1,i}={\mathcal {J}}_{k,k-1}={\sqrt {J_{k,k-1}J_{k-1,k}}}&={\sqrt {b_{k-1}}}&k&={\hphantom {1,\,}}2,\ldots ,n.\end{aligned}}}$$

즉,

$${\displaystyle {\mathcal {J}}={\begin{bmatrix}a_{0}&{\sqrt {b_{1}}}&0&\cdots &0\\{\sqrt {b_{1}}}&a_{1}&{\sqrt {b_{2}}}&\ddots &\vdots \\0&{\sqrt {b_{2}}}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &a_{n-2}&{\sqrt {b_{n-1}}}\\0&\cdots &0&{\sqrt {b_{n-1}}}&a_{n-1}\end{bmatrix}}.}$$

J와 ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$는 닮음 행렬이므로 같은 고유값(노드)을 가진다. 가중치는 해당 고유 벡터에서 계산할 수 있다. ${\displaystyle \phi ^{(j)}}$가 고유값 x_j와 관련된 정규화된 고유 벡터(즉, 유클리드 노름이 1인 고유 벡터)이면 해당 가중치는 이 고유 벡터의 첫 번째 성분에서 계산할 수 있다. $${\displaystyle w_{j}=\mu _{0}\left(\phi _{1}^{(j)}\right)^{2}}$$

여기서 ${\displaystyle \mu _{0}}$는 무게 함수의 적분이다. $${\displaystyle \mu _{0}=\int _{a}^{b}\omega (x)dx.}$$

자세한 내용은 (Gil, Segura & Temme 2007) harv error: 대상 없음: CITEREFGilSeguraTemme2007 (help) 등을 참조하라.

가우스 구적법 규칙의 오차는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[5] 2n개의 연속 도함수를 갖는 피적분 함수에 대해 $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,f(x)\,dx-\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,f(x_{i})={\frac {f^{(2n)}(\xi )}{(2n)!}}\,(p_{n},p_{n})}$$ (a, b)의 어떤 ξ에 대해, 여기서 p_n은 1을 선행 계수로 갖는 일계수 차수 n의 직교 다항식이고 $${\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}\omega (x)f(x)g(x)\,dx.}$$

ω(x) = 1의 중요한 특수한 경우에 대한 오차 추정은 다음과 같다.^[6] $${\displaystyle {\frac {\left(b-a\right)^{2n+1}\left(n!\right)^{4}}{(2n+1)\left[\left(2n\right)!\right]^{3}}}f^{(2n)}(\xi ),\qquad a<\xi <b.}$$

Stoer와 Bulirsch는 이 오차 추정이 실제로는 불편하다고 지적한다. 왜냐하면 차수 2n 도함수를 추정하기 어려울 수 있으며, 또한 실제 오차가 도함수에 의해 확립된 경계보다 훨씬 작을 수 있기 때문이다. 다른 접근 방식은 서로 다른 차수의 두 가지 가우스 구적법 규칙을 사용하고 두 결과 간의 차이로 오차를 추정하는 것이다. 이러한 목적을 위해 가우스-크론로드 구적법 규칙이 유용할 수 있다.

 이 부분의 본문은 가우스-크론로드 구적법 공식입니다.

구간 [a, b]가 세분되면 새로운 부분 구간의 가우스 평가 지점은 이전 평가 지점과 절대 일치하지 않으며(홀수 개수에 대해 0인 경우 제외) 따라서 모든 지점에서 피적분 함수를 평가해야 한다. 가우스-크론로드 규칙은 n점 규칙에 n + 1점을 추가하여 결과 규칙이 차수 2n + 1이 되도록 확장된 가우스 구적법 규칙이다. 이를 통해 저차 추정의 함수 값을 재사용하면서 고차 추정을 계산할 수 있다. 가우스 구적법 규칙과 크론로드 확장 간의 차이는 종종 근사 오차의 추정으로 사용된다.

네덜란드 수학자 레우엘 로바토(Rehuel Lobatto)의 이름을 따서 로바토 구적법이라고도 알려져 있다.^[7] 가우스 구적법과 유사하며 다음과 같은 차이점이 있다.

1. 적분 지점에는 적분 구간의 끝점이 포함된다.
2. 적분 지점의 개수 n에 대해 차수 2n − 3까지의 다항식에 대해 정확하다.^[8]

구간 [−1, 1]에 대한 함수 f(x)의 로바토 구적법: $${\displaystyle \int _{-1}^{1}{f(x)\,dx}={\frac {2}{n(n-1)}}[f(1)+f(-1)]+\sum _{i=2}^{n-1}{w_{i}f(x_{i})}+R_{n}.}$$

절편: x_i는 ${\displaystyle P'_{n-1}(x)}$의 ${\displaystyle (i-1)}$번째 근이며, 여기서 ${\displaystyle P_{m}(x)}$는 m차 표준 르장드르 다항식을 나타내고 대시는 미분을 나타낸다.

가중치: $${\displaystyle w_{i}={\frac {2}{n(n-1)\left[P_{n-1}\left(x_{i}\right)\right]^{2}}},\qquad x_{i}\neq \pm 1.}$$

나머지: $${\displaystyle R_{n}={\frac {-n\left(n-1\right)^{3}2^{2n-1}\left[\left(n-2\right)!\right]^{4}}{(2n-1)\left[\left(2n-2\right)!\right]^{3}}}f^{(2n-2)}(\xi ),\qquad -1<\xi <1.}$$

일부 가중치는 다음과 같다.

점의 개수, n	점, xi	가중치, wi
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {4}{3}}}$
	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {1}{5}}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{6}}}$
	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {32}{45}}}$
	${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {3}{7}}}}$	${\displaystyle {\frac {49}{90}}}$
	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{10}}}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {1}{3}}-{\frac {2{\sqrt {7}}}{21}}}}}$	${\displaystyle {\frac {14+{\sqrt {7}}}{30}}}$
	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {1}{3}}+{\frac {2{\sqrt {7}}}{21}}}}}$	${\displaystyle {\frac {14-{\sqrt {7}}}{30}}}$
	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{15}}}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {256}{525}}}$
	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {5}{11}}-{\frac {2}{11}}{\sqrt {\frac {5}{3}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {124+7{\sqrt {15}}}{350}}}$
	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\frac {5}{11}}+{\frac {2}{11}}{\sqrt {\frac {5}{3}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {124-7{\sqrt {15}}}{350}}}$
	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{21}}}$

내부 노드가 2개인 이 알고리즘의 적응형 변형^[9]은 GNU 옥타브 및 매트랩에서 각각 quadl 및 integrate로 제공된다.^[10][11]

• 오일러-매클로린 공식
• 구적법

• “Gauss quadrature formula”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• ALGLIB은 수치적분을 위한 알고리즘 모음(C# / C++ / Delphi / Visual Basic 등)을 포함한다.
• GNU 사이언티픽 라이브러리 — C 버전의 QUADPACK 알고리즘을 포함한다(GNU 사이언티픽 라이브러리 참조)
• 로바토 구적법에서 오일러 상수 e까지
• 가우스 구적법 적분 규칙 – Notes, PPT, Matlab, Mathematica, Maple, Mathcad Holistic Numerical Methods Institute
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Legendre-Gauss Quadrature”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• 가우스 구적법 - Chris Maes와 Anton Antonov 작성, 울프럼 데몬스트레이션 프로젝트.
• Mathematica 소스 코드와 함께 표로 정리된 가중치와 절편, 고정밀(소수점 16자리 및 256자리) 르장드르-가우스 구적법 가중치와 절편, n=2부터 n=64까지, Mathematica 소스 코드 포함.
• 임의의 가중 함수 W(x), 적분 영역 및 정밀도에 대한 절편 및 가중치 생성용 GNU LGPL 하에 배포되는 Mathematica 소스 코드.
• 임의의 정밀도 및 근사 차수에 대한 Boost.Math의 가우스 구적법
• Boost.Math의 가우스-크론로드 구적법
• 가우스 구적법의 노드와 가중치 보관됨 2021-04-14 - 웨이백 머신