극소 모형 프로그램

대수기하학에서 극소 모형 프로그램은 대수다양체의 쌍유리 분류의 일부이다. 프로그램의 목표는 가능한 한 단순한 복소 사영다양체의 쌍유리 모형을 구성하는 것이다. 이 주제는 이탈리아 학파에서 연구한 표면의 고전적 쌍유리기하학에 기원을 두고 있으며 현재 대수 기하학 내에서 활발한 연구 영역이다.

이론의 기본 아이디어는 각 쌍유리사상 동치류에서 "가능한 한 단순한" 다양체를 찾아 다양체의 쌍유리 분류를 단순화하는 것이다. 이 문구의 정확한 의미는 주제의 발전과 함께 진화했다. 원래는 임의의 매끄러운 곡면 ${\displaystyle X'}$와 쌍유리사상 ${\displaystyle f\colon X\to X'}$에 대해 ${\displaystyle f}$가 동형사상이 되는 매끄러운 다양체 ${\displaystyle X}$를 찾는 것을 의미했다.

현대 공식화에서 이론의 목표는 다음과 같다. 사영다양체 ${\displaystyle X}$이 주어졌다고 가정한다. 단순성을 위해, ${\displaystyle X}$는 비특이적이라고 가정한다. 고다이라 차원 ${\displaystyle \kappa (X)}$을 기준으로 두 가지 경우가 있다:^[1]

• ${\displaystyle \kappa (X)=-\infty .}$ 목표는 ${\displaystyle X}$와 쌍유리동형인 다양체 ${\displaystyle X'}$와 ${\displaystyle \dim Y<\dim X'}$인 사영다양체 ${\displaystyle Y}$로의 사상${\displaystyle f\colon X'\to Y}$을, 일반적인 섬유 ${\displaystyle F}$가 풍부한 반표준류 ${\displaystyle -K_{F}}$와 함께 찾는 것이다. 이러한 사상을 파노 섬유 공간이라고 한다.
• ${\displaystyle \kappa (X)\geqslant 0.}$ 목표는 ${\displaystyle X}$와 쌍유리동형인 ${\displaystyle X'}$와 네프 표준류 ${\displaystyle K_{X^{\prime }}}$를 찾는 것이다. 이 경우, ${\displaystyle X'}$는 ${\displaystyle X}$에 대한 극소 모형이다.

위에서 나타나는 다양체 ${\displaystyle X'}$ 그리고 ${\displaystyle X}$가 비특이적인지의 여부는 중요하다. 매끄러운 다양체 ${\displaystyle X}$로 시작했을 때 항상 매끄러운 다양체의 범주 안에서 극소 모형 또는 파노 섬유 공간을 찾을 수 있는 것이 자연스러워 보이지만, 이는 사실이 아니므로 특이적 다양체를 고려하는 것 또한 중요하다. 나타나는 특이점을 말단 특이점이라고 한다.

• 풍요의 추측
• 최소 유리 표면

• , Mathematical Society of Japan  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)
• , Springer-Verlag  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)
• , Cambridge University Press  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)
• , Springer-Verlag  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)
• , American Mathematical Society  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)
• Kawamata, Yujiro (2001). “Mori theory of extremal rays”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.