글레이셔-킨켈린 상수

글레이셔-킨켈린 상수 (Glaisher-Kinkelin constant)는 ${\displaystyle K}$함수와 ${\displaystyle G}$함수로 관계된다.

${\displaystyle A\approx 1.2824271291\dots }$ (OEIS A074962)^[1]

${\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }{{K(n+1)} \over {n^{{{n^{2}} \over {2}}+{n \over 2}+{1 \over 12}}e^{{-n^{2}} \over {4}}}}}$

• ${\displaystyle K}$함수(K-function)

${\displaystyle K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}k^{k}}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }k^{1 \over k^{2}}=\left({\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}}\right)^{{\pi ^{2}} \over 6}}$

원주율 ${\displaystyle {\pi },}$ 자연로그의 밑${\displaystyle {e}\;\;,\;\;\;\gamma }$오일러-마스케로니 상수

• ${\displaystyle G}$함수(G-function)

${\displaystyle G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!={\frac {\left[\Gamma (n)\right]^{n-1}}{K(n)}}}$ 여기서 ${\displaystyle \;\;\Gamma (n)}$는 감마 함수

${\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }{{(2\pi )^{n \over 2}n^{{n^{2} \over 2}-{1 \over 12}}e^{{{-3n^{2}} \over {4}}+{1 \over 12}}} \over {G(n+1)}}}$

• 리만 제타 함수와의 상관관계

리만 제타 함수 미분

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{12}}-\ln A}$

${\displaystyle -\zeta ^{\prime }(2)={{\pi ^{2}} \over 6}\left[12\ln A-\gamma -\ln(2\pi )\right]=\sum _{k=2}^{\infty }{{\ln k} \over {k^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{2}}\ln A=\int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}\,dx}$

• ${\displaystyle \color {blue}{e}}$와 상관된 자연로그의 밑에서의 글레이셔-킨켈린 상수

${\displaystyle \ln A={\frac {1}{8}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{2}\ln(k+1)}$

• 수학 상수
• 리만 제타 함수
• 감마 함수
• 프라임 제타 함수