단면 일차 모멘트

단면 일차 모멘트는 축으로부터 도심점까지의 거리에 면적을 곱한것을 말한다. 단위는 길이의 세제곱이다. 평면 도형의 도심을 구하기 위하여 사용된다.

정의

임의 형상의 단면에 대해서, 미소 면적 dA를 생각하고, 데카르트 좌표축으로부터 미소면적 도심까지 거리를 곱한 다음 전체 면적에 대해 적분을 하면 단면 1차 모멘트(G)다.

G_{x}=\int _{A}ydA=A\cdot {\bar {y}}

G_{y}=\int _{A}xdA=A\cdot {\bar {x}}

여기서 ${\bar {x}},{\bar {y}}$ 를 각각의 축에서부터 단면의 도심까지 거리라고 한다.

특성

단면 1차 모멘트는 축의 위치에 따라 양의 값을 가질수도, 음의 값을 가질수도 있다. 도심을 지나는 축에 대한 단면 1차 모멘트는 0이다.

도심

도심(centroid)이란 어떤 임의 단면에서 데카르트 좌표축에 대한 단면 1차 모멘트가 0이 되는 점을 말한다. 데카르트 좌표축에서 도심까지의 거리를 구하는 방법은 단면 1차 모멘트를 도형의 면적으로 나누면 된다.

{\bar {x}}={\frac {G_{y}}{A}}

{\bar {y}}={\frac {G_{x}}{A}}

대표적인 도형의 도심

도형	${\bar {x}}$	${\bar {y}}$	면적
삼각형	${\frac {b}{3}}$	${\frac {h}{3}}$	${\frac {bh}{2}}$
사각형	${\frac {b}{2}}$	${\frac {h}{2}}$	$bh$
사분원^[1]	${\frac {4r}{3\pi }}(={\frac {2D}{3\pi }})$	${\frac {4r}{3\pi }}(={\frac {2D}{3\pi }})$	${\frac {\pi r^{2}}{4}}$
반원^[2]	$\,\!0$	${\frac {4r}{3\pi }}(={\frac {2D}{3\pi }})$	${\frac {\pi r^{2}}{2}}$

포물선의 도심

$y=h\left(1-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}\right)$ 포물선의 도심을 ${\overline {x}},\ {\overline {y}}$ 라고 하자. 포물선의 미소한 면적 dA는

$dA=ydx=h\left(1-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}\right)dx$

포물선의 면적 공식에 의해

$A={\frac {2}{3}}bh$

단면일차모멘트부터 계산한다.

${\begin{aligned}Q_{x}=\int {\frac {y}{2}}dA&=\int _{0}^{b}{\frac {h^{2}}{2}}\left(1-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}dx\\&={\frac {4}{15}}bh^{2}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}Q_{y}=\int xdA&=\int _{0}^{b}hx\left(1-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}\right)dx\\&={\frac {1}{4}}b^{2}h\\\end{aligned}}$

도심 계산

${\begin{aligned}{\overline {x}}={\frac {G_{y}}{A}}&={\frac {{\frac {1}{4}}b^{2}h}{{\frac {2}{3}}bh}}\\&={\frac {3}{8}}b\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\overline {y}}={\frac {G_{x}}{A}}&={\frac {{\frac {4}{15}}bh^{2}}{{\frac {2}{3}}bh}}\\&={\frac {2}{5}}h\\\end{aligned}}$

같이 보기

각주

↑ “Quarter Circle”. 《eFunda》. 2016년 4월 23일에 확인함.
↑ “Circular Half”. 《eFunda》. 2016년 4월 23일에 확인함.

참고 문헌

전찬기, 이종헌, 정환호, 김운학, 김경진 (2015). 《토목기사 과년도 시리즈 응용역학》. 성안당. 77-78쪽. ISBN 978-89-315-6807-3. CS1 관리 - 여러 이름 (링크)
Gere, Goodno. 〈도심과 관성모멘트의 복습〉. 《재료역학》 8판. Cengage Learning.