달랑베르 연산자

달랑베르 연산자(d’Alembert演算子, d’Alembertian operator)는 민코프스키 공간에서의 라플라스 연산자다. 특수 상대성 이론과 전자기학에서 쓰인다. 기호는 ${\displaystyle \square }$ 또는 ${\displaystyle \partial ^{2}}$. 장 르 롱 달랑베르가 도입하였다.

민코프스키 공간 ${\displaystyle (t,x,y,z)}$에서, 달랑베르 연산자는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Box &=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=g_{\mu \nu }\partial ^{\nu }\partial ^{\mu }={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\&={\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}={\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\Delta \end{aligned}}}$

클라인-고든 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle (\Box +\mu ^{2})\psi =0}$

진공의 전자기장에서의 파동방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle \Box A^{\mu }=0}$

여기서 ${\displaystyle A^{\mu }}$는 민코프스키 공간에서의 전자기 퍼텐셜이다.

• 클라인-고든 방정식
• 파동 방정식