대수적으로 닫힌 체

대수적 폐포의 존재는 초른 보조정리를 사용하여 보일 수 있다. 임의의 체 ${\displaystyle K}$가 주어졌다고 하자. 집합론적 문제를 피하기 위해,

${\displaystyle |X|>\max\{|K|,\aleph _{0}\}}$

인 집합 ${\displaystyle X}$를 잡고, ${\displaystyle \operatorname {AlgExt} (X;K)}$가 다음 조건들을 만족시키는 대수적 확대 ${\displaystyle L/K}$들의 집합이라고 하자.

• ${\displaystyle K\subseteq L\subseteq X}$
• 체의 매장 ${\displaystyle K\hookrightarrow L}$은 포함 함수로 주어진다.

이제, ${\displaystyle L/K,L'/K\in \operatorname {AlgExt} (X;K)}$에 대하여, 만약 포함 함수 ${\displaystyle L\to L'}$이 체의 매장이라면, ${\displaystyle L\leq L'}$이라고 정의하자. 그렇다면 ${\displaystyle \operatorname {AlgExt} (X;K)}$는 이 이항 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 임의의 사슬 ${\displaystyle (L_{i})_{i\in I}}$에 대하여,

${\displaystyle L=\bigcup _{i\in I}L_{i}}$

는 체를 이루며, ${\displaystyle K}$의 대수적 확대이며, 사슬 ${\displaystyle (L_{i})_{i\in I}}$의 상계를 이룬다. 초른 보조정리에 따라, 극대 원소 ${\displaystyle {\bar {K}}/K}$가 존재한다. ${\displaystyle {\bar {K}}}$는 그 정의에 따라 ${\displaystyle K}$의 대수적 확대를 이룬다. ${\displaystyle L/{\bar {K}}}$가 대수적 확대이며, 편의상 체의 매장 ${\displaystyle {\bar {K}}\hookrightarrow L}$이 포함 함수로 주어진다고 가정하자. 그렇다면,

${\displaystyle |L|\leq \max\{|K|,\aleph _{0}\}}$

이다. (왜냐하면, 임의의 대수적 원소에 최소 다항식을 대응시킬 수 있고, 같은 다항식에 대응하는 원소의 수는 다항식의 차수를 넘지 않기 때문이다.) 따라서,

${\displaystyle {\begin{aligned}|L\setminus {\bar {K}}|&\leq |L|\\&\leq \max\{|K|,\aleph _{0}\}\\&<|X|\\&=|X\setminus {\bar {K}}|+|{\bar {K}}|\\&=\max\{|X\setminus {\bar {K}}|,|{\bar {K}}|\}\\&=|X\setminus {\bar {K}}|\\\end{aligned}}}$

이다. (마지막 등식은 ${\displaystyle |{\bar {K}}|<|X|=\max\{|X\setminus {\bar {K}}|,|{\bar {K}}|\}}$ 때문이다.) 이에 따라, 체의 확대의 동형

${\displaystyle L/{\bar {K}}\xrightarrow {\cong } {\tilde {L}}/{\bar {K}}}$

이 존재하는 ${\displaystyle {\tilde {L}}/K\in \operatorname {AlgExt} (X;K)}$가 존재한다. 그렇다면, ${\displaystyle {\tilde {L}}/{\bar {K}}}$는 대수적 확대이며, 체의 매장 ${\displaystyle {\bar {K}}\hookrightarrow L}$은 (포함 함수 ${\displaystyle {\bar {K}}\hookrightarrow L}$과 ${\displaystyle {\bar {K}}}$의 확대의 동형 ${\displaystyle L/{\bar {K}}\xrightarrow {\cong } {\tilde {L}}/{\bar {K}}}$의 합성이므로) 포함 함수이다. 즉, ${\displaystyle {\bar {K}}\leq {\tilde {L}}}$이다. ${\displaystyle {\bar {K}}}$는 극대 원소이므로, ${\displaystyle {\tilde {L}}={\bar {K}}}$이며, 따라서 ${\displaystyle L={\bar {K}}}$이다. 즉, ${\displaystyle {\bar {K}}}$는 대수적으로 닫힌 체이며, ${\displaystyle K}$의 대수적 폐포를 이룬다.

만약 ${\displaystyle L/K}$가 대수적 확대이며, ${\displaystyle K[x]}$ 속 모든 다항식이 ${\displaystyle L}$ 속에서 근을 갖는다면, ${\displaystyle L}$은 ${\displaystyle K}$의 대수적 폐포이다. 실제로, 만약 ${\displaystyle M/L}$이 대수적 확대라면, ${\displaystyle M/K}$ 역시 대수적 확대이다. 따라서, ${\displaystyle M}$의 임의의 원소는 ${\displaystyle K[x]}$ 속 어떤 다항식의 근이며, 가정에 따라 ${\displaystyle L}$에 속한다.

대수적 폐포는 다항식의 근을 주어진 체에 거듭 추가하여 구성할 수 있다. 임의의 체 ${\displaystyle K}$ 및 기약 다항식 ${\displaystyle p\in K[x]}$에 대하여, 몫환

${\displaystyle K[x]/(p(x))}$

는 체이며, 환 준동형

${\displaystyle K\to K[x]/(p(x))}$

${\displaystyle a\mapsto a{\bmod {(}}p(x))}$

은 체의 확대를 이룬다. 또한, ${\displaystyle x\in K[x]}$의 상은 ${\displaystyle p}$의 상의 근이며, 체를 생성한다.

이제, 무한 개의 ${\displaystyle K}$-대수의 텐서곱

${\displaystyle \bigotimes _{p\in \operatorname {irr} (K[x])}K[x]/(p(x))=\varinjlim _{{\scriptstyle S\subseteq \operatorname {irr} (K[x])} \atop {\scriptstyle |S|<\aleph _{0}}}\bigotimes _{p\in S}K[x]/(p(x))}$

을 생각하자. 이는 유한 개의 ${\displaystyle K}$-대수의 텐서곱들의 귀납적 극한으로 주어지며, 여기에 사용된 ${\displaystyle K}$-대수 준동형들은 다음과 같다.

${\displaystyle \bigotimes _{p\in S}K[x]/(p(x))\to \bigotimes _{p\in T}K[x]/(p(x))}$

${\displaystyle \bigotimes _{p\in S}a_{p}\mapsto \bigotimes _{p\in S}a_{p}\otimes \bigotimes _{p\in T\setminus S}1}$

자연스러운 ${\displaystyle K}$-대수 준동형

${\displaystyle K[x]/(p(x))\to \bigotimes _{q\in \operatorname {irr} (K[x])}K[x]/(q(x))}$

${\displaystyle a_{p}\mapsto a_{p}\otimes \bigotimes _{q\neq p}1}$

들이 존재하며, 그 상들은 무한 텐서곱을 생성한다. ${\displaystyle B_{p}=\{1,\alpha _{p},\dots ,\alpha _{p}^{\deg p-1}\}}$가 ${\displaystyle K}$-대수 ${\displaystyle K[x]/(p(x))}$의 기저라고 하자. 그렇다면, 무한 텐서곱은 다음과 같은 기저를 갖는다.

${\displaystyle B=\left\{\bigotimes _{p\in \operatorname {irr} (K[x])}\alpha _{p}^{i_{p}}\colon 0\leq i_{p}\leq \deg p-1,\;|\{p\colon i_{p}\neq 0\}|<\aleph _{0}\right\}}$

특히, ${\displaystyle K[x]/(p(x))\neq 0}$이므로, 무한 텐서곱은 0이 아니다. 선택 공리에 따라, 무한 텐서곱의 극대 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$이 존재한다. 이 경우,

${\displaystyle {\bar {K}}=\left(\bigotimes _{p\in \operatorname {irr} (K[x])}K[x]/(p(x))\right)/{\mathfrak {m}}}$

는 체를 이루며, 자연스러운 체의 확대 ${\displaystyle K[x]/(p(x))\hookrightarrow {\bar {K}}}$들이 존재하며, 그 상들은 체 ${\displaystyle {\bar {K}}}$를 생성한다. 두 체의 확대의 합성

${\displaystyle K\hookrightarrow K[x]/(p(x))\hookrightarrow {\bar {K}}}$

로 주어지는 체의 확대는 ${\displaystyle p}$의 선택과 무관하게 같다. 두 체의 확대가 대수적 확대이므로, ${\displaystyle {\bar {K}}/K}$도 대수적 확대이다. 임의의 기약 다항식 ${\displaystyle p\in K[x]}$는 ${\displaystyle K[x]/(p(x))}$에서 근을 가지므로, ${\displaystyle {\bar {K}}}$에서 근을 갖는다. 즉, ${\displaystyle {\bar {K}}}$는 대수적으로 닫힌 체이며, ${\displaystyle K}$의 대수적 폐포이다.

같은 체의 두 대수적 폐포

${\displaystyle {\bar {K}}/K}$

${\displaystyle {\bar {K}}'/K}$

가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle \operatorname {PartIsom} ({\bar {K}}/K,{\bar {K}}'/K)}$가 다음과 같은 데이터로 이루어진 순서쌍 ${\displaystyle (L,\iota )}$들의 집합이라고 하자.

• ${\displaystyle L/K}$는 ${\displaystyle {\bar {K}}/K}$의 부분 확대이다.
• ${\displaystyle \iota \colon L/K\to {\bar {K}}'/K}$는 체의 확대의 매장(즉, ${\displaystyle K}$-대수 준동형)이다.

이제, ${\displaystyle (L,\iota ),(L',\iota ')\in \operatorname {PartIsom} ({\bar {K}}/K,{\bar {K}}'/K)}$에 대하여, 만약

${\displaystyle \iota _{LL'}\circ \iota =\iota '}$

인 체의 확대의 매장 ${\displaystyle \iota _{LL'}\colon L/K\hookrightarrow L'/K}$가 존재한다면, ${\displaystyle (L,\iota )\leq (L',\iota ')}$이라고 정의하자. 그렇다면, ${\displaystyle \operatorname {PartIsom} ({\bar {K}}/K,{\bar {K}}'/K)}$는 부분 순서 집합을 이룬다. 임의의 사슬 ${\displaystyle ((L_{i},\iota _{i}))_{i\in I}}$에 대하여, 이러한 체의 확대의 매장

${\displaystyle \iota _{ij}\colon L_{i}/K\hookrightarrow L_{j}/K}$

들을 고르면, 귀납적 극한

${\displaystyle L=\varinjlim _{i\in I}L_{i}}$

${\displaystyle \phi _{i}\colon L_{i}/K\hookrightarrow L/K\qquad (i\in I)}$

을 정의할 수 있다. (체의 확대의 매장을 포함 함수로 여기는 경우, 이는 단순히 사슬에 속하는 체들의 합집합이다.) 체의 확대의 매장 ${\displaystyle \iota _{i}\colon L_{i}/K\hookrightarrow {\bar {K}}'/K}$들은 ${\displaystyle \iota \circ \phi _{i}=\iota _{i}}$인 ${\displaystyle L}$의 매장 ${\displaystyle \iota \colon L/K\to {\bar {K}}'/K}$을 유도한다. ${\displaystyle \leq }$의 정의에 따라 ${\displaystyle (L_{i},\iota _{i})\leq (L,\iota )}$이다. 즉, ${\displaystyle (L,\iota )}$는 사슬의 상계이다. 초른 보조정리에 따라, 극대 원소 ${\displaystyle (L,\iota )}$가 존재한다. 이제, 다음 두 가지를 보이면 충분하다.

• ${\displaystyle L={\bar {K}}}$
  • 만약 ${\displaystyle \alpha \in {\bar {K}}\setminus L}$이라면, ${\displaystyle \alpha }$의 최소 다항식 ${\displaystyle p_{a}\in K[x]}$는 ${\displaystyle {\bar {K}}'}$에서도 근 ${\displaystyle \alpha '\in {\bar {K}}'}$을 갖는다. 따라서, ${\displaystyle \iota \colon L/K\hookrightarrow {\bar {K}}'/K}$를 확장하는, ${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha '}$인 유일한 매장 ${\displaystyle L(\alpha )/K\hookrightarrow {\bar {K}}'/K}$가 존재한다. 그런데 ${\displaystyle (L,\iota )}$가 극대 원소이므로, 이는 불가능하다.
• ${\displaystyle \iota ({\bar {K}})={\bar {K}}'}$
  • ${\displaystyle {\bar {K}}}$가 대수적으로 닫힌 체이므로, ${\displaystyle \iota ({\bar {K}})}$도 대수적으로 닫힌 체이다. ${\displaystyle {\bar {K}}'/K}$가 대수적 확대이므로, ${\displaystyle {\bar {K}}'/\iota ({\bar {K}})}$도 대수적 확대이다. 따라서, ${\displaystyle \iota ({\bar {K}})={\bar {K}}'}$이다.