독립 (확률론)

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통계학 시리즈의 일부
확률론
확률 공리 결정론 시스템 비결정론 무작위성
확률공간 표본공간 사건 전체 포괄 사건 근원사건 상호 배타성 결과 한원소 시행 베르누이 시행 확률분포 베르누이 분포 이항분포 정규분포 확률 측도 확률변수 베르누이 과정 연속/이산 기댓값 마르코프 연쇄 관측값 무작위 행보 확률과정
여사건 결합 확률 주변 확률 조건부 확률
독립 조건부 독립 전체 확률의 법칙 큰 수의 법칙 베이즈 정리 불의 부등식
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v t e

확률론에서 두 사건이 독립(獨立, 영어: independent)이라는 것은, 한 사건이 일어날 확률이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다. 예를 들어서, 주사위를 두 번 던지는 경우 첫 번째에 1이 나오는 사건은 두 번째에 1이 나오는 사건에 독립적이다. 이 밖에도 다양한 독립의 개념이 존재한다. 특히 통계학에서 통계적 독립(statistically independent) 또는 독립성(independence)이라고도 한다.

확률 공간 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )}$ 위의 사건들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {F}}}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$가 서로 독립이라고 한다.

• 모든 유한 집합 ${\displaystyle \{S_{1},\dots ,S_{n}\}\subset {\mathcal {S}}}$에 대하여,

  ${\displaystyle \Pr(S_{1}\cap S_{2}\cap \cdots \cap S_{n})=\Pr(S_{1})\Pr(S_{2})\cdots \Pr(S_{n})}$

확률 공간 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )}$ 위의, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 부분 시그마 대수들의 집합 ${\displaystyle {\mathfrak {G}}\subset {\mathcal {P}}({\mathcal {F}})}$이 다음 성질을 만족시킬 경우, ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$가 서로 독립이라고 한다.

• 모든 유한 집합 ${\displaystyle \{{\mathcal {G}}_{1},\dots ,{\mathcal {G}}_{n}\}\subset {\mathfrak {G}}}$ 및 ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {G}}_{i}}$ (${\displaystyle i=1,\dots ,n}$)에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \Pr(\bigcap _{i=1}^{n}S_{i})=\prod _{i=1}^{n}\Pr(S_{i})}$

사건의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\in {\mathcal {F}}}$에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.

• ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$는 사건의 집합으로서 서로 독립이다.
• ${\displaystyle \{\sigma (S)\colon S\in {\mathcal {S}}\}}$는 시그마 대수의 집합로서 서로 독립이다. 여기서 ${\displaystyle \sigma (S)=\{\varnothing ,S,\Omega \setminus S,\Omega \}}$는 ${\displaystyle S}$를 포함하는 가장 작은 시그마 대수이다.

같은 확률 공간 위에 정의된 (공역이 다를 수 있는) 확률 변수의 집합

${\displaystyle X_{i}\colon (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )\to (S_{i},{\mathcal {G}}_{i})\qquad (i\in I)}$

에 대하여, 시그마 대수

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}=\{X_{i}^{-1}(T)\colon T\in {\mathcal {G}}_{i}\}\subset {\mathcal {F}}}$

를 정의할 수 있다. 만약 ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{i}\}_{i\in I}}$가 시그마 대수의 집합으로서 서로 독립일 경우, 확률 변수의 집합 ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$이 서로 독립이라고 한다.

확률 공간 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )}$ 위의 π계의 집합 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}\subset {\mathcal {P}}({\mathcal {F}})}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle \{\sigma ({\mathcal {P}})\colon {\mathcal {P}}\in {\mathfrak {P}}\}}$는 서로 독립이다.
• 모든 유한 집합 ${\displaystyle \{{\mathcal {P}}_{1},\dots ,{\mathcal {P}}_{n}\}\subset {\mathfrak {P}}}$ 및 ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {P}}_{i}}$ (${\displaystyle i=1,\dots ,n}$)에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \Pr(\bigcap _{i=1}^{n}S_{i})=\prod _{i=1}^{n}\Pr(S_{i})}$

확률 공간 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )}$ 위의 시그마 대수의 집합 ${\displaystyle {\mathfrak {G}}\subset {\mathcal {P}}({\mathcal {F}})}$ 및 ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$의 분할 ${\displaystyle \{{\mathfrak {G}}_{i}\}_{i\in I}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$가 서로 독립이라면,

${\displaystyle \left\{\sigma \left(\bigcup {\mathfrak {G}}_{i}\right)\colon i\in I\right\}}$

역시 서로 독립이다.

• 동분산성
• 정규성

• “Independence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Independent statistics”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Independent events”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.