동등자

수학에서 동등자(同等子, 영어: equalizer)는 여러 함수들이 같은 값을 갖게 되는, 정의역의 부분집합이다.

집합 ${\displaystyle X,Y}$ 및 ${\displaystyle X}$에서 ${\displaystyle Y}$로 가는 함수들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset Y^{X}}$이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 동등자 ${\displaystyle \operatorname {Eq} ({\mathcal {F}})}$는 다음과 같은 집합이다.

${\displaystyle \operatorname {Eq} ({\mathcal {F}})=\{x\in X|f(x)=g(x)\forall f,g\in {\mathcal {F}}\}}$

자명한 경우로, ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\varnothing }$인 경우 ${\displaystyle \operatorname {Eq} (\varnothing )=X}$이며, ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f\}}$로 하나의 원소만을 갖는 경우 역시 ${\displaystyle \operatorname {Eq} (\{f\})=X}$이다.

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서, 대상 ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}$ 및 사상 모임의 부분집합 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset \hom(X,Y)}$이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 동등자 ${\displaystyle (E,\operatorname {eq} )}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• ${\displaystyle E}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상이다.
• ${\displaystyle \operatorname {eq} \in \hom _{\mathcal {C}}(E,X)}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 사상이며, 모든 ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}}$에 대하여 ${\displaystyle f\circ \operatorname {eq} =g\circ \operatorname {eq} }$이다.

이는 다음과 같은 보편 성질을 만족시켜야 한다.

• 만약 ${\displaystyle m\colon O\to X}$가 임의의 ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}}$에 대하여 ${\displaystyle f\circ m=g\circ m}$을 만족시킨다면, ${\displaystyle \operatorname {eq} \circ u=m}$인 유일한 사상 ${\displaystyle u\colon O\to E}$가 존재한다.

이는 극한의 간단한 예이며, 이 경우 지표 범주 ${\displaystyle J}$는 두 개의 대상 ${\displaystyle X,Y}$ 및 사상 집합 ${\displaystyle \hom _{J}(X,Y)={\mathcal {F}}}$를 가진다.

주어진 범주에서 동등자는 존재하지 않을 수 있다. 다만, 만약 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$가 공집합이거나 하나의 원소만을 갖는 경우 동등자는 항상 존재하며, 이 경우 ${\displaystyle (E,\operatorname {eq} )=(X,\operatorname {id} _{X})}$이다.

만약 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 곱 및 당김을 갖는다면, 항상 동등자를 갖는다. 구체적으로, 다음과 같은 사상을 생각하자.

${\displaystyle \operatorname {diag} _{Y}=(\operatorname {id} _{Y},\operatorname {id} _{Y})\colon Y\to Y\times Y}$

${\displaystyle (f,g)\colon X\to Y\times Y}$

그렇다면, 이에 대한 당김

${\displaystyle X\times _{Y\times Y}Y}$

을 정의할 수 있으며, 이는 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle g}$의 동등자와 같다. 동등자 사상은 당김의 표준 사영

${\displaystyle \pi _{X}\colon X\times _{Y\times Y}Y\to X}$

에 의하여 주어진다.

• 당김 (범주론)

• “Equalizer”. 《nLab》 (영어). 
• “Kernel of a morphism in a category”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Products and pullbacks imply equalizers?” (영어). StackExchange.