디리클레 등차수열 정리

수론에서 디리클레 등차수열 정리(Dirichlet等差數列定理, 영어: Dirichlet’s theorem on arithmetic progressions)는 첫 수와 항들의 차가 서로소인 등차수열에 무한히 많은 소수들이 포함되어 있다는 정리다.

${\displaystyle a_{0}}$와 ${\displaystyle b}$가 서로소인 양의 정수라고 하자. 디리클레 등차수열 정리에 따르면, 등차수열

${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }=(a_{0}+nb)_{n=0}^{\infty }=(a_{0},a_{0}+b,a_{0}+2b,\dots )}$

에는 무한히 많은 소수가 포함되어 있다. 즉, 무한히 많은 소수들을

${\displaystyle a_{0}+nb}$

의 꼴로 나타낼 수 있다. 또한, 이 수열에 포함된 소수들의 역수들의 합은 발산한다.

${\displaystyle \sum _{a_{0}+nb{\text{ prime}}}1/(a_{0}+nb)=\infty }$

대표적인 등차수열에 포함된 소수들은 다음과 같다.

레온하르트 오일러는 1로 시작하는 모든 등차수열에 대하여 이 정리를 추측하였고, 아드리앵마리 르장드르가 이 추측을 임의의 등차수열로 일반화하였다.

페터 구스타프 르죈 디리클레가 1837년 이 정리를 증명하였다.^[1][2] 이를 증명하기 위하여 디리클레는 수론에 해석학적인 기법을 도입하였다. 이는 해석적 수론의 시초로 여겨진다.

1946년에 아틀레 셀베르그가 초등적인 증명을 발표하였다.^[3]

• 그린-타오 정리

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Dirichlet's Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Caldwell, Chris. “Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetic Progressions”. 《Prime Pages》 (영어). 
• 이철희. “등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리”. 《수학노트》.