디리클레 베타 함수

수학에서 디리클레 베타 함수(Dirichlet beta function) 혹은 카탈랑 베타 함수(Catalan beta function)는 리만 제타 함수와 밀접한 관련이 있는 특수 함수이다. 디리클레 L-함수의 특수한 경우이다.

디리클레 베타 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}}$

혹은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx}$

${\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \beta (1)\;=\;\tan ^{-1}(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle \beta (2)\;=\;G}$, 여기서 ${\displaystyle G}$는 카탈랑 상수를 의미한다.

${\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}}}$

${\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}}}$

${\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}}}$

${\displaystyle 0}$ 이상의 정수 ${\displaystyle k}$에 대하여 ${\displaystyle \beta (-k)={{E_{k}} \over {2}}}$이다. 여기서 ${\displaystyle {E_{n}}}$는 오일러 수를 의미한다.

오일러 수 ${\displaystyle {E_{n}}}$은 ${\displaystyle n}$이 홀수일 때 ${\displaystyle 0}$이기 때문에, ${\displaystyle k}$가 홀수일 때 ${\displaystyle \beta (-k)=0}$임을 알 수 있다.

• 후르비츠 제타 함수
• 디리클레 L-함수
• 디리클레 에타 함수

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Dirichlet Beta Function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.