디리클레 함수

만약 ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$라면, ${\displaystyle \textstyle x={\frac {a}{b}}}$인 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$를 취할 수 있다. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle m\geq b}$에 대하여, ${\displaystyle m!x\in \mathbb {Z} }$이므로, ${\displaystyle \cos(m!\pi x)\in \{-1,1\}}$이다. 따라서,

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }1=1}$

이다.

만약 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$라면, 임의의 ${\displaystyle m\geq 0}$에 대하여 ${\displaystyle m!x\notin \mathbb {Z} }$이므로, ${\displaystyle \cos(m!\pi x)\in (-1,1)}$이다. 따라서,

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)=\lim _{m\to \infty }0=0}$

이다.

임의의 ${\displaystyle t\in \mathbb {Q} }$ 및 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$에 대하여, ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }(x+t)=1_{\mathbb {Q} }(x)}$임을 보이면 된다. 만약 ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$라면, ${\displaystyle x+t\in \mathbb {Q} }$이므로,

${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }(x+t)=1=1_{\mathbb {Q} }(x)}$

이다. 만약 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$라면, ${\displaystyle x+t\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$이므로,

${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }(x+t)=0=1_{\mathbb {Q} }(x)}$

이다.

이제, 귀류법을 사용하여, ${\displaystyle t_{0}\in \mathbb {Q} ^{+}}$가 ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$의 양의 최소 주기라고 가정하자. 그렇다면, ${\displaystyle \textstyle {\frac {t_{0}}{2}}\in \mathbb {Q} ^{+}}$ 역시 ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$의 양의 주기이며, ${\displaystyle \textstyle {\frac {t_{0}}{2}}<t_{0}}$이다. 이는 ${\displaystyle t_{0}}$이 최소 양의 주기인 것과 모순이다.

임의의 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$에 대하여, ${\displaystyle x}$로 수렴하는 유리수 수열 ${\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }}$과 무리수 수열 ${\displaystyle (y_{n})_{n=0}^{\infty }}$을 취할 수 있다. 그렇다면

${\displaystyle 1=\lim _{n\to \infty }1_{\mathbb {Q} }(x_{n})\leq \limsup _{y\to x}1_{\mathbb {Q} }(y)\leq \sup _{y\in \mathbb {R} }1_{\mathbb {Q} }(y)=1}$

${\displaystyle 0=\inf _{y\in \mathbb {R} }1_{\mathbb {Q} }(y)\leq \liminf _{y\to x}1_{\mathbb {Q} }(y)\leq \lim _{n\to \infty }1_{\mathbb {Q} }(y_{n})=0}$

이다.

임의의 닫힌구간 ${\displaystyle [a,b]}$ 및 임의의 분할

${\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\}\qquad (a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b)}$

에 대하여, 각 소구간 ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$은 유리수와 무리수를 원소로 포함하므로,

${\displaystyle \sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)=1}$

${\displaystyle \inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)=0}$

이다. 따라서 ${\displaystyle P}$에 대한 리만 상합과 리만 하합은

${\displaystyle U(1_{\mathbb {Q} },P)=\sum _{i=1}^{n}\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)\cdot (x_{i}-x_{i-1})=b-a}$

${\displaystyle L(1_{\mathbb {Q} },P)=\sum _{i=1}^{n}\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)\cdot (x_{i}-x_{i-1})=0}$

이며, 그 상적분과 하적분은

${\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}1_{\mathbb {Q} }(x)dx=\inf _{P}U(1_{\mathbb {Q} },P)=\inf _{P}(b-a)=b-a}$

${\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}1_{\mathbb {Q} }(x)dx=\sup _{P}L(1_{\mathbb {Q} },P)=\sup _{P}0=0}$

이다.

유리수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$는 가산 집합이므로, 실수선 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 위의 보렐 집합이며, 특히 르베그 가측 집합이다. 따라서 ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$는 단순 함수이며, 특히 가측 함수이다. 그 르베그 적분은

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }1_{\mathbb {Q} }d\mu =\mu (\mathbb {Q} )=0}$

이다. 이에 따라 ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$는 르베그 적분 가능하다.