란다우-라마누잔 상수

란다우-라마누잔 상수(Landau-Ramanujan Constant)는 1908년 에드문트 란다우가 증명한 정리에서 등장하는 양의 실수 ${\displaystyle b}$이다. 란다우는 어떤 양의 실수 ${\displaystyle b}$에 대해, 충분히 큰 ${\displaystyle x}$에 대해, ${\displaystyle x}$ 이하의 양의 정수 중 두 제곱수의 합으로 나타내어지는 것의 개수는 점근적으로 ${\displaystyle {\frac {bx}{\sqrt {\ln x}}}}$임을 증명하였다. 정리에서 등장하는 상수 ${\displaystyle b}$가 란다우-라마누잔 상수이다.

자연수의 제곱합의 함수 ${\displaystyle r_{2}(n)}$와의 관계 ${\displaystyle (OEISA001481)}$

${\displaystyle 1=0^{2}+1^{2}}$

${\displaystyle 2=1^{2}+1^{2}}$

${\displaystyle 4=0^{2}+2^{2}}$

${\displaystyle 5=1^{2}+2^{2}}$

${\displaystyle 8=2^{2}+2^{2}}$

${\displaystyle S(n)=\sum _{1\to n}r_{2}(n),r_{2}(n)>0}$

${\displaystyle S(n)}$ 은 ${\displaystyle r_{2}(n)}$의 누적 개수이다.

${\displaystyle S(1)=1=\overbrace {r_{2}(1)} ^{1}}$

${\displaystyle S(2)=2=\overbrace {r_{2}(1),r_{2}(2)} ^{2}}$

${\displaystyle S(4)=3=\overbrace {r_{2}(1),r_{2}(2),r_{2}(4)} ^{3}}$

${\displaystyle S(5)=4=r_{2}(1),r_{2}(2),r_{2}(4),r_{2}(5)}$

${\displaystyle S(8)=5=r_{2}(1),r_{2}(2),r_{2}(4),r_{2}(5),r_{2}(8)}$

${\displaystyle K=\lim _{x\to \infty }S(x)\left({{\sqrt {\ln x}} \over {x}}\right)\quad }$란다우(1908)

${\displaystyle S(x)=K\int _{A}^{x}\left({{dt} \over {\sqrt {\ln t}}}\right)+\theta (x)\quad }$라마누잔, 하디(Hardy 1940)

${\displaystyle K=0.7642236535....(OEISA064533)}$

두 제곱수의 합으로 나타내어지는 정수는 그 소인수분해에서 4로 나눈 나머지가 3인 각 소수들의 지수가 짝수인 수이다. 예를 들어, 45 = 9 + 36은 두 제곱수의 합이다. 소인수분해 3² x 5에서 3은 짝수 지수를 가지며, 5는 4로 나눈 나머지가 1이므로 지수가 홀수일 수 있다.

란다우의 정리에는 다음과 같이 되어 있다.

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\ \left({\frac {\sqrt {\ln x}}{x}}\cdot S(x)\right)=b\approx 0.764223653589220662990698731250092328116790541}$ (OEIS의 수열 A064533),

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