람베르트 정각원추도법

투영 대상이 되는 원뿔 위의 각 점에서 축까지의 거리를 ${\displaystyle r}$이라 하자. 정각성에 의해 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\frac {d\phi }{\cos \phi \,d\lambda }}=-{\frac {d\rho }{r\,d\lambda }}}$

이 때 투영 대상이 되는 곡면은 원뿔이므로, ${\displaystyle {\frac {\rho }{r}}}$의 값은 상수이다. 이를 ${\displaystyle k}$로 놓자.

${\displaystyle -\sec \phi \,d\phi ={\frac {k}{\rho }}d\rho }$

${\displaystyle k\log \rho =\log(\sec \phi -\tan \phi )+C}$

${\displaystyle \rho ^{k}=e^{C}(\sec \phi -\tan \phi )}$

이제 ${\displaystyle k}$와 ${\displaystyle C}$의 값을 구하면 된다.

기준위선에서 길이가 보존되어야 하므로

${\displaystyle \cos \phi _{0}=r(\phi _{0})}$

또 그러한 위선은 기준위선 하나밖에 없으므로, 기준위선에서 구면에 접하는 원뿔에 투영시키는 것으로 볼 수 있다. 그렇다면 ${\displaystyle \cos \phi =r}$은 이중근을 가져야 한다. 즉

${\displaystyle -\sin \phi _{0}=r'(\phi _{0})}$

이다.

다시, 기준위선에서 길이가 보존된다는 성질에 의해 ${\displaystyle \rho '(\phi _{0})=-1}$ 이 성립하므로, ${\displaystyle -1=\rho '(\phi _{0})=kr'(\phi _{0})=-k\sin \phi _{0}}$이다.

따라서 ${\displaystyle k=\csc \phi _{0}}$이다.

이제 위의 식 ${\displaystyle \rho ^{k}=e^{C}(\sec \phi -\tan \phi )}$의 양변에 ${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$승을 취한 후 ${\displaystyle k=\csc \phi _{0}}$를 대입해 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \rho =e^{C\sin \phi _{0}}(\sec \phi -\tan \phi )^{\sin \phi _{0}}}$

여기서 ${\displaystyle \phi =\phi _{0}}$ 를 대입하면,

${\displaystyle e^{C\sin \phi _{0}}(\sec \phi _{0}-\tan \phi _{0})^{\sin \phi _{0}}=\rho (\phi _{0})=\cot \phi _{0}}$

${\displaystyle e^{C\sin \phi _{0}}=\cot \phi _{0}(\sec \phi _{0}+\tan \phi _{0})^{\sin \phi _{0}}}$

${\displaystyle \quad \therefore \;\rho =\cot \phi _{0}((\sec \phi -\tan \phi )(\sec \phi _{0}+\tan \phi _{0}))^{\sin \phi _{0}}\qquad \blacksquare }$

• 람베르트 정적방위도법