렙셰츠 초평면 정리

대수기하학에서 렙셰츠 초평면 정리(Лефшец超平面定理, 영어: Lefshetz hyperplane theorem)는 복소수 사영 대수다양체의 위상수학과 그 초평면 단면의 위상수학 사이의 관계에 대한 정리이다.

${\displaystyle X\subset \mathbb {C} P^{N}}$이 복소수체 위의 ${\displaystyle n}$차원 사영 대수다양체라고 하고, ${\displaystyle Y}$가 ${\displaystyle X}$와 어떤 초평면의 교집합이라고 하고, ${\displaystyle X\setminus Y}$가 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면, 렙셰츠 초평면 정리에 따라, 다음 명제들이 성립한다.

• 특이 호몰로지 군 사이의 자연스러운 군 준동형 ${\displaystyle H_{k}(Y;\mathbb {Z} )\to H_{k}(X;\mathbb {Z} )}$는 ${\displaystyle k<n-1}$일 때 동형사상이고, ${\displaystyle k=n-1}$일 때 전사 함수이다.
  • 즉, 다시 말해 상대 호몰로지 군은 ${\displaystyle H_{k}(X,Y;\mathbb {Z} )=0}$ (${\displaystyle k<n}$)이다.
• 특이 코호몰로지 군 사이의 자연스러운 군 준동형 ${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} )\to H^{k}(Y;\mathbb {Z} )}$는 ${\displaystyle k<n-1}$일 때 동형사상이고, ${\displaystyle k=n-1}$일 때 전사 함수이다.
  • 즉, 다시 말해 상대 코호몰로지 군은 ${\displaystyle H^{k}(X,Y;\mathbb {Z} )=0}$ (${\displaystyle k<n}$)이다.
• 호모토피 군 사이의 자연스러운 군 준동형 ${\displaystyle \pi _{k}(Y)\to \pi _{k}(X)}$는 ${\displaystyle k<n-1}$일 때 동형사상이고, ${\displaystyle k=n-1}$일 때 전사 함수이다.
  • 즉, 다시 말해 상대 호모토피 군은 ${\displaystyle \pi _{k}(X,Y)=0}$ (${\displaystyle k<n}$)이다.

솔로몬 렙셰츠가 1924년에 증명하였다.^[1]

• “Lefschetz theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.