리만-후르비츠 공식

기하학과 복소해석학에서 리만-후르비츠 공식(영어: Riemann–Hurwitz formula)은 주어진 곡면 위의 분기 피복(ramified cover)의 오일러 지표에 대한 공식이다.

베른하르트 리만과 아돌프 후르비츠가 증명하였다.

두 콤팩트 리만 곡면 ${\displaystyle S,T}$ 사이에 정칙함수 ${\displaystyle \pi \colon T\to S}$가 존재한다고 하자. 이 함수가 ${\displaystyle p\in T}$에서 국소적으로 ${\displaystyle z\mapsto z^{n}+O(z^{n+1})}$ (${\displaystyle n>1}$) 꼴일 경우, 이를 분기점(영어: ramified point)이라고 하고, ${\displaystyle e_{p}=n}$을 그 분기 지표(영어: ramification index)라고 한다. ${\displaystyle \pi }$가 유한개의 분기점을 가지고, 분기점이 아닌 점에서는 국소 동형사상(${\displaystyle N}$중 피복 공간)이라고 하자. 그렇다면 두 리만 곡면의 오일러 지표 사이에 다음이 성립한다.

${\displaystyle \chi (T)=N\chi (S)-\sum _{p\in T}(e_{p}-1)}$

여기서 ${\displaystyle \sum _{p\in T}}$는 ${\displaystyle \pi }$의 분기점들에 대한 합이다. 이 공식을 리만-후르비츠 공식이라고 한다.

이 공식에 따라서, 낮은 종수에서 높은 종수로 가는 분지 피복은 존재하지 않는다. 또한, 종수 0의 리만 곡면 위에는 분지점이 없는 피복은 존재하지 않는다.

바이어슈트라스 타원함수 ${\displaystyle \wp (\cdot ,\Lambda )\colon \mathbb {C} /\Lambda \to {\hat {\mathbb {C} }}}$는 타원곡선 ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$에서 리만 구면으로 가는 정칙함수다. 이는 2중 피복이며, 또한 네 개의 분기 지표가 2인 분기점을 갖는다. 따라서

${\displaystyle 0=2\cdot 2-4\cdot (2-1)}$

이다.

리만 구면위에서 다음과 같은 정칙함수 ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}\to {\hat {\mathbb {C} }}}$, ${\displaystyle z\mapsto z^{N}}$을 생각하자 (${\displaystyle N>1}$). 그렇다면 이는 ${\displaystyle N}$중 분지 피복이며, 그 분기점은

• ${\displaystyle z=0}$, 분지 지표 ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle z={\widehat {\infty }}}$, 분지 지표 ${\displaystyle n}$

이다. 따라서 리만-후르비츠 공식은

${\displaystyle 2=N\cdot 2-(n-1)-(n-1)}$

이다.

• Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 

• “Riemann-Hurwitz formula”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.