매끄러운 함수

해석학에서 매끄러운 함수(영어: smooth function)는 무한 번 미분이 가능한 함수이다. ${\displaystyle C^{\infty }}$ 함수로 표기하기도 한다.

만약 함수가 매끄럽고 모든 점에서의 테일러 급수 값이 함수값과 같을 경우에는 해석 함수가 된다.

어떤 함수가 ${\displaystyle k}$번 미분가능하고 그 미분한 함수가 모두 연속일 경우, 그 함수를 ${\displaystyle C^{k}}$ 함수라고 부른다. 예를 들어, ${\displaystyle C^{0}}$는 연속인 함수를 의미하며, ${\displaystyle C^{1}}$는 연속 미분 가능한 함수, 즉 미분 가능하고 도함수가 연속 함수인 함수를 의미한다.

함수가 무한 번 미분가능할 경우 ${\displaystyle C^{\infty }}$로 표기하며, 해석 함수일 경우는 ${\displaystyle C^{\omega }}$로 표기한다.

${\displaystyle C^{k}}$ 집합은 ${\displaystyle C^{k+1}}$ 집합을 진부분집합으로 가지며, ${\displaystyle C^{k+1}}$에 속하지 않는 ${\displaystyle C^{k}}$ 함수가 존재한다. 마찬가지로 ${\displaystyle C^{k}}$는 ${\displaystyle C^{\infty }}$를 진부분집합으로, ${\displaystyle C^{\infty }}$는 ${\displaystyle C^{\omega }}$를 진부분집합으로 가진다.

${\displaystyle f(x)}$가 ${\displaystyle x}$가 0 이상일 때 ${\displaystyle f(x)=x}$, 0보다 작을 때 ${\displaystyle f(x)=0}$일 경우, 이 함수는 연속함수이지만 ${\displaystyle x=0}$에서 미분값이 존재하지 않는다. 따라서 이 함수는 ${\displaystyle C^{0}}$이지만 ${\displaystyle C^{1}}$은 아니다.

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/(1-x^{2})}&{\mbox{ if }}|x|<1,\\0&{\mbox{ otherwise }}\end{cases}}}$

인 함수는 무한 번 미분이 가능하므로 매끄러운 함수이다. 하지만 ${\displaystyle x=\pm 1}$일 때 해석적이지 않고, 따라서 이 함수는 해석함수는 아니다.

유클리드 공간의 열린 집합 ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U;\mathbb {R} )}$가 ${\displaystyle U}$ 위의 매끄러운 실수값 함수들의 집합이라고 하자.

이 공간 위에는 다음과 같은 일련의 반노름들이 주어진다. 모든 콤팩트 공간 ${\displaystyle K\subset U}$ 및 다중 지표 ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}$에 대하여,

${\displaystyle \|f\|_{K,\alpha }=\sup _{K}|\partial ^{\alpha }f|}$

따라서, 이 반노름들을 사용하여 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U;\mathbb {R} )}$ 위에 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다.

• “Smooth function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Smooth function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “C^infty function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.