매트로이드 마이너

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{S}=\{I\cap S\}_{I\in {\mathcal {I}}}=\{I\in {\mathcal {I}}\colon I\subseteq S\}}$로 놓자. (유한 또는 무한) 매트로이드의 네 공리들^[1]:§1.1은 다음과 같이 확인할 수 있다.

• (I1) ${\displaystyle \varnothing \in \{I\cap S\}_{I\in {\mathcal {I}}}}$: 자명하게 참이다.
• (I2) 만약 ${\displaystyle J\subseteq I\in {\mathcal {I}}}$일 때, ${\displaystyle J\cap S\subseteq I\cap S\in {\mathcal {I}}_{S}}$이므로 ${\displaystyle J\cap S\in {\mathcal {I}}_{S}}$이다.
• (IM) 임의의 ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}_{S}\subseteq {\mathcal {I}}}$ 및 ${\displaystyle I\subseteq T\subseteq S\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle \{J\in {\mathcal {I}}_{S}\colon I\subseteq J\subseteq T\}=\{J\in {\mathcal {I}}\colon I\subseteq J\subseteq T\}}$는 매트로이드의 공리에 따라 극대 원소를 갖는다.

유일하게 자명하지 않은 것은 공리 (I3)이다.

임의의 ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}_{S}}$, ${\displaystyle J\in \max {\mathcal {I}}_{S}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, (IM) 공리를 사용하여,

${\displaystyle J\subseteq J'\in \max {\mathcal {I}}}$

를 찾을 수 있으며, ${\displaystyle J\in \max {\mathcal {I}}_{S}}$이므로

${\displaystyle J'\cap S=J}$

이다.

(I3) 공리를 거듭 사용하여,

${\displaystyle I\subseteq I'\subseteq I\cup J'}$

${\displaystyle I'\in \max {\mathcal {I}}}$

인 ${\displaystyle I'}$을 찾을 수 있다.

이제,

${\displaystyle I'\cap S\in \max {\mathcal {I}}_{S}}$

${\displaystyle I\subseteq I'\cap S\subseteq I\cup J}$

를 보이면 족하다. 이 가운데 유일하게 자명하지 않은 것은 ${\displaystyle I'\cap S\subseteq I\cup J}$이며, 그 증명은

${\displaystyle I'\cap S\subseteq (I\cup J')\cap S=(I\cap S)\cup (J'\cap S)=I\cup J}$

이다.