멱함수

수학에서 멱함수(冪函數, 영어: power function)는 거듭제곱의 지수를 고정하고 밑을 변수로 하는 함수이다.

멱함수는 다음과 같은 꼴의 실수 또는 복소수 함수이다.

${\displaystyle f(x)=cx^{\alpha }}$

편의상 ${\displaystyle c=1}$이라고 하자. 실수 멱함수 ${\displaystyle x^{\alpha }}$의 정의역과 치역은 다음과 같다.

지수	정의역	치역	예시
분모와 분자가 홀수인 양의 기약 분수 (특히, 양의 홀수)	전체 실수	전체 실수	${\displaystyle x^{1/3}}$
분모가 홀수, 분자가 짝수인 양의 기약 분수 (특히, 양의 짝수)	전체 실수	음이 아닌 실수	${\displaystyle x^{2/3}}$
0	0이 아닌 실수	1	${\displaystyle x^{0}}$
분모와 분자가 홀수인 음의 기약 분수 (특히, 음의 홀수)	0이 아닌 실수	0이 아닌 실수	${\displaystyle x^{-1}}$
분모가 홀수, 분자가 짝수인 음의 기약 분수 (특히, 음의 짝수)	0이 아닌 실수	양의 실수	${\displaystyle x^{-2}}$
분모가 짝수인 양의 기약 분수	음이 아닌 실수	음이 아닌 실수	${\displaystyle x^{1/2}}$
기약 분모가 짝수인 음의 기약 분수	양의 실수	양의 실수	${\displaystyle x^{-1/2}}$
무리수	양의 실수	양의 실수	${\displaystyle x^{\sqrt {2}}}$

멱함수 ${\displaystyle x^{\alpha }}$의 도함수는 다음과 같다. 이를 멱의 법칙이라고 한다.

${\displaystyle (x^{\alpha })'=\alpha x^{\alpha -1}}$

멱함수 ${\displaystyle x^{\alpha }}$의 부정적분은 다음과 같다.

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx={\begin{cases}\textstyle {\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+C&\alpha \neq -1\\\ln x+C&\alpha =-1\end{cases}}}$

멱함수 ${\displaystyle (1+x)^{\alpha }}$의 테일러 급수 전개는 다음과 같다.

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}x^{n}}$

• 멱법칙(power law)

• “Power function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.