반복 강제법

집합론에서 반복 강제법(反復強制法, 영어: iterated forcing)은 강제법 모형의 구성을 초한 번 반복하는 과정이다.^{[1]:251–303, Chapter VIII[2]:267–283, Chapter 16[3][4]:§7}

이에 대하여 케네스 쿠넌은 다음과 같이 적었다.

“	반복 강제법의 아이디어는 포괄적 확장 과정을 순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여 ${\displaystyle \alpha }$번 반복하여, 모형들의 사슬 [${\displaystyle (M_{\beta })_{\beta \leq \alpha }}$]를 얻는 것이다. […] 이는 대략 2단계 반복과 극한 반복의 두 부분으로 나뉜다. 2번 반복은 […] 자명한 것처럼 보인다. […] 그러나 극한 반복의 경우 문제가 발생한다. ${\displaystyle n<\omega }$에 대하여 ${\displaystyle M_{n}}$를 구성한 뒤, ${\displaystyle M_{\omega }}$는 무엇이어야 할까? ${\displaystyle \textstyle M_{\omega }=\bigcup _{n}M_{n}}$으로 놓을 수 없는 이유는 [포괄적 필터들의 집합] ${\displaystyle \{G_{n}\colon n\in \omega \}}$이 보통 이 합집합의 원소가 아니기 때문이다. […] 이 문제를 해결하기 위하여, 2단계 반복을 더 어렵게 구성하자. 즉, 2단계 반복을 어떻게 한 단계로 할 수 있는지 설명할 것이다. […] 이 방법에서는 모형들의 사슬을 구성하는 대신, [원순서 집합들을] ${\displaystyle M}$ 속에서 구성한다. 그 뒤에는 (원한다면) […] 모형들의 사슬을 구성할 수 있으나, 이는 그리 중요하지 않다. The idea behind iterated forcing is to repeat the generic extension process ${\displaystyle \alpha }$ times, for some ordinal ${\displaystyle \alpha }$, to obtain a chain of models [${\displaystyle (M_{\beta })_{\beta \leq \alpha }}$]. […] The discussion of iterated forcing breaks into two parts: two stage iteration and limit iteration. Two stage iteration […] at first sight seems trivial. […] Limit iteration, on the other hand, seems to present a problem. Once we have ${\displaystyle M_{n}}$ for ${\displaystyle n<\omega }$, what is ${\displaystyle M_{\omega }}$? We cannot just set ${\displaystyle \textstyle M_{\omega }=\bigcup _{n}M_{n}}$, since this will usually not contain [the set of generic filters] ${\displaystyle \{G_{n}\colon n\in \omega \}}$ […]. […] To solve these problems, we go back to two stage iteration and make it harder. We shall show how to do a two stage iteration in one step. […] [I]n this approach, we do not begin by constructing a chain of models. Rather, our efforts are concentrated on constructing the [posets] in ${\displaystyle M}$. Once we are done, we may […] obtain a chain of model after all, but this is of secondary importance.	”
	— [1]:251–252

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• ZFC의 표준 추이적 모형 ${\displaystyle M}$
• 순서수 ${\displaystyle \mu \in M\cap \operatorname {Ord} }$

${\displaystyle M}$ 속의 ${\displaystyle \mu }$ 단계 반복 강제법 구조(${\displaystyle \mu }$-段階反復強制法構造, 영어: ${\displaystyle \mu }$-step iterated forcing strucure in ${\displaystyle M}$)은 다음과 같은 데이터로 구성된다.^{[1]:273, Definition VII.5.8[2]:280, Definition 16.29}

• ${\displaystyle M}$의 원소인 집합 ${\displaystyle D\in M}$
• ${\displaystyle M}$의 원소인 ${\displaystyle ({\dot {Q}}_{\beta },{\dot {\lesssim }}_{\beta })_{\beta <\mu }}$. ${\displaystyle ({\dot {Q}}_{\beta },{\dot {\lesssim }}_{\beta })}$는 유일한 최소 원소를 갖는 원순서 집합의 ${\displaystyle P_{\beta }}$-이름이다.
• 각 ${\displaystyle \beta <\mu }$에 대하여, ${\displaystyle {\dot {\bot }}_{\beta }}$는 ${\displaystyle ({\dot {Q}}_{\beta },{\dot {\lesssim }}_{\beta })}$의 유일한 최소 원소이다.
• 집합족 ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {P}}(\mu )}$. 또한, ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mu +1)}$ 속의 순서 아이디얼을 이룬다.
• ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$는 ${\displaystyle \mu }$의 모든 유한 부분 집합을 포함한다.

여기서, 다음과 같은 함수열을 정의하자.

${\displaystyle \operatorname {supp} _{\lambda }\colon D^{\lambda }\to {\mathcal {P}}(\lambda )}$

${\displaystyle \operatorname {supp} _{\lambda }\colon p\mapsto \left\{\alpha \in \lambda \colon p_{\alpha }\neq {\dot {\bot }}_{\mu }\right\}}$

그렇다면 다음과 같은 부분 순서 집합들의 열 ${\displaystyle (P_{\alpha })_{\alpha \leq \mu }}$을 초한 귀납법으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle \forall \lambda \leq \mu \forall p\in D^{\lambda }\colon \qquad p\in P_{\lambda }\iff {\begin{cases}\left(p\upharpoonright \alpha \in P_{\alpha }\right)\land \left(p_{\beta }\in \operatorname {dom} {\dot {Q}}_{\alpha }\right)\land \left(p\upharpoonright \alpha \Vdash (p_{\alpha }\in {\dot {Q}}_{\alpha })\right)&\exists \alpha \colon \alpha +1=\lambda \\\left(\forall \alpha <\lambda \colon p\upharpoonright \alpha \in P_{\alpha }\right)\land (\operatorname {supp} _{\lambda }p\in {\mathcal {I}})&\nexists \alpha \colon \alpha +1=\lambda \end{cases}}}$

${\displaystyle \forall \lambda \leq \mu \forall p,q\in P_{\lambda }\colon \qquad p\leq q\iff {\begin{cases}(p\upharpoonright \alpha \leq q\upharpoonright \alpha )\land (p\upharpoonright \alpha \Vdash (p_{\alpha }\leq q_{\alpha }))&\exists \alpha +1=\lambda \\\forall \alpha <\lambda \colon (p\upharpoonright \alpha \leq q\upharpoonright \alpha )&\nexists \alpha \colon \alpha +1=\lambda \end{cases}}}$

임의의 ${\displaystyle \alpha \leq \beta \leq \mu }$에 대하여, 함수 ${\displaystyle \iota _{\alpha \beta }}$를 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle \iota _{\alpha \beta }\colon P_{\alpha }\to P_{\beta }}$

${\displaystyle \left(q=\iota _{\alpha \beta }(p)\right)\iff \left((q\upharpoonright \alpha =\beta )\land (\forall \alpha \leq \gamma <\beta \colon q_{\gamma }=\bot _{\gamma })\right)}$

만약 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$가 유한 집합이라면, 이를 유한 지지 반복 강제법 구조(有限支持反復強制法, 영어: iterated forcing structure with finite support)이라고 한다.

만약 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$가 가산 집합이라면, 이를 가산 지지 반복 강제법 구조(可算支持反復強制法, 영어: iterated forcing structure with countable support)이라고 한다.

다음이 성립한다.

• 임의의 ${\displaystyle p\in P_{\beta }}$ 및 ${\displaystyle \gamma <\beta }$에 대하여, ${\displaystyle p\upharpoonright \gamma \in P_{\beta }}$이다.
• 임의의 ${\displaystyle (p_{\gamma })_{\gamma <\beta }\in P_{\beta }}$ 및 ${\displaystyle \gamma <\beta }$에 대하여, ${\displaystyle p_{\gamma }\in \operatorname {dom} (\pi _{\gamma })}$이다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• ZFC의 표준 추이적 모형 ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 지지 ${\displaystyle \mu }$ 단계 반복 강제법 구조 ${\displaystyle (\pi _{\alpha })_{\alpha <\mu }}$
• ${\displaystyle P_{\mu }}$의 ${\displaystyle M}$-포괄적 순서 아이디얼 ${\displaystyle G\subseteq P_{\mu }}$

이 경우, 임의의 ${\displaystyle \alpha \leq \mu }$에 대하여

${\displaystyle G_{\alpha }=\iota _{\alpha \mu }^{-1}(G)\subseteq P_{\alpha }}$

를 정의하자. (특히 ${\displaystyle G_{\mu }=G}$이다.) 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle \alpha \leq \beta \leq \mu }$에 대하여

${\displaystyle M[G_{\alpha }]\subseteq M[G_{\beta }]}$

이다. 즉,

${\displaystyle M\subseteq M[G_{0}]\subseteq M[G_{1}]\subseteq \cdots \subseteq M[G_{\omega }]\subseteq M[G_{\omega +1}]\subseteq \cdots \subseteq M[G_{\mu }]=M[G]}$

이다.

1971년에 로버트 솔로베이와 스탠리 테넨바움이 수슬린 가설의 독립성을 보이기 위하여 반복 강제법을 도입하였다.^[5][2]:282

• Eisworth, Todd; Moore, Justin Tatch; Milovich, David (2009). 〈Iterated forcing and the continuum hypothesis〉 (PDF). Cummings, James; Schimmerling, Ernest. 《Appalachian Set Theory 2006–2012》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 406. doi:10.1017/CBO9781139208574.008. ISBN 978-110760850-4. Zbl 1256.03003. 
• Goldstern, Martin (1993). 〈Tools for your forcing construction〉 (PDF). Judah, Haim. 《Set theory of the reals》. Israel Mathematics Conference Proceedings (영어) 6. American Mathematical Society. Zbl 0834.03016. 
• Vartanian, Michael Haig (2010). 《An iterated forcing extension in which all ℵ₁-dense sets of reals are isomorphic》 (영어). 석사 학위 논문 (지도 교수 Maurice C. Stanley). San Jose State University. 
• ヨーグ・ブレンドレ, 편집. (2007년 2월). 《実数の集合論と反復強制法の相互関係》. 数理解析研究所講究録 (일본어) 1530. 京都大学数理解析研究所. ISSN 1880-2818.