변환행렬

다음은 변환행렬에 관한 설명이다.

선형 대수학에서 선형 변환(linear transformations)은 행렬(matrix,매트릭스)로 나타내는 것이 가능하다. 또한 역사적으로 행렬상에서 행렬을 변환(또는 변형)시키는 다양한 표현방법이 조사되어왔다.

행렬을 사용하면 임의의 선형 변환을 계산에 적합한 일관된 형식으로 표시 할 수 있다.^[1] ${\displaystyle \left\{\mathbf {e} _{1},\cdots ,\mathbf {e} _{n}\right\}}$이 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 표준기저이고, 선형 변환 ${\displaystyle T}$를 나타내는 행렬을 ${\displaystyle \mathbf {A} }$라고 할 때 다음과 같이 표현할 수 있다.^[2]

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}T(\mathbf {e} _{1})&\dots &T(\mathbf {e} _{n})\end{bmatrix}}}$

선형 변환만이 행렬로 표현할 수 있는 유일한 변환은 아니다. n 차원 유클리드 공간 ${\displaystyle R^{n}}$에서 비선형인 일부 변환은 n + 1 차원 공간 ${\displaystyle R^{n+1}}$에서 선형 변환으로 나타낼 수 있다. 여기에는 변환과 같은 아핀 변환(affine transformation) 과 사영 변환(projective transformation 또는 Homography) 이 모두 포함된다. 이러한 이유로, 정사각 행렬 변환은 3D 컴퓨터 그래픽에서 널리 사용된다. 이러한 n + 1 차원 변환 행렬은 아핀 변환 행렬 , 사영 변환 행렬 또는 보다 일반적으로 비선형 변환 행렬 등 그 응용에 따라 다르게 불린다. n 차원 행렬과 관련하여, n + 1 차원 행렬은 첨가 행렬로 설명 될 수 있다.

물리학에서 능동 변환(active transformation) 은 좌표상에서 시스템의 물리적 위치 값을 변경하고 좌표계가 없는 경우에도 의미를 가진다(기저 변환)

수동 변환(passive transformation)은 대상이 되는 물리적 시스템은 변형없이 그대로이고 단지 좌표만이 이동한 것이다. 바꾸어 말하면, 수동 변환은 두 개의 다른 좌표 프레임에서 보았을 때 동일한 대상의 각기 다른 시각을 의미한다.

이처럼 능동 변환과 수동 변환의 차이는 현실세계의 물리적인 현상과 좌표계를 통해서 구별될수있다. 일반적으로 변환이라는 표현은, 수학에서는 능동변환을 의미한다. 그러나 특히 물리학에서는 상황에 따라 그 중 하나를 의미 할 수 있다.

• 닮음변환행렬 (크기 변환행렬)
• 회전변환행렬
• 전단변환행렬
• 대칭변환행렬
• 직교 사영행렬

• 회전행렬

단위 벡터 ${\displaystyle (l,m,n)}$에 의해 정의된 축에 대해 각도 θ를 회전시키는 행렬^[3]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}ll(1-\cos \theta )+\cos \theta &ml(1-\cos \theta )-n\sin \theta &nl(1-\cos \theta )+m\sin \theta \\lm(1-\cos \theta )+n\sin \theta &mm(1-\cos \theta )+\cos \theta &nm(1-\cos \theta )-l\sin \theta \\ln(1-\cos \theta )-m\sin \theta &mn(1-\cos \theta )+l\sin \theta &nn(1-\cos \theta )+\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

• 반사 행렬(하우스홀더 변환)

좌표상에서 원점을 통과하는 반사된 점을 반영하기 위해 ${\displaystyle ax+by+cz=0}$를 사용할 수 있다. ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{T}}$는 다음과 같이 정의된다. ${\displaystyle \mathbf {I} }$는 3x3 단위행렬이고 그리고 ${\displaystyle \mathbf {N} }$은 좌표상의 벡터 노름에 대한 3 차원 단위벡터이다. ${\displaystyle a,b,}$ 및 ${\displaystyle c}$의 노름 공간(L2)에서 변환 행렬은 다음과 같이 표현 될 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{bmatrix}}}$

• 정규 직교 기저
• 동차좌표

• 매스월드