브라마굽타 정리

기하학에서 브라마굽타 정리(Brahmagupta定理, 영어: Brahmagupta's theorem)는 두 대각선이 직교하고 원에 내접하는 사각형의 두 대각선의 교점에서 한 변에 내린 수선은 대변을 이등분한다는 정리이다.^{[1]:59, §3.2, Theorem 3.23} 사실 임의의 내접 사각형의 각 변의 중점에서 대변에 내린 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 내접 사각형의 반중심이라고 한다. 이 경우 브라마굽타 정리는 직교대각선 내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 교점이라는 내용이다.

직교대각선 내접 사각형 ${\displaystyle ABCD}$의 두 대각선 ${\displaystyle AC}$, ${\displaystyle BD}$의 교점을 ${\displaystyle P}$라고 하고, ${\displaystyle P}$를 지나는 ${\displaystyle BC}$의 수선의 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AD}$와의 교점을 ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$라고 하자. 브라마굽타 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle AF=FD}$

즉, 직교대각선 내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 교점이다.

외접원의 호 ${\displaystyle AB}$의 두 원주각 ${\displaystyle \angle ACB}$와 ${\displaystyle \angle ADB}$의 크기는 같다. 또한, ${\displaystyle \angle BPC}$와 ${\displaystyle \angle PEC}$는 모두 직각이므로, ${\displaystyle \angle ACB}$와 ${\displaystyle \angle BPE}$는 모두 ${\displaystyle \angle PBC}$의 여각이다. 또한, 맞꼭지각 ${\displaystyle \angle BPE}$와 ${\displaystyle \angle DPF}$의 크기는 같다. 즉,

${\displaystyle \angle ADB=\angle ACB=\angle BPE=\angle DPF}$

이다. 따라서

${\displaystyle PF=FD}$

이다. 마찬가지로

${\displaystyle PF=AF}$

를 보일 수 있다.

 이 부분의 본문은 반중심입니다.

내접 사각형 ${\displaystyle ABCD}$의 대각선 ${\displaystyle AC}$, ${\displaystyle BD}$의 중점을 ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$이라고 하고, 두 대각선의 교점을 ${\displaystyle P}$라고 하자. 그렇다면, 이 내접 사각형의 반중심은 삼각형 ${\displaystyle PMN}$의 수심이다.^{[2]:39, §4.2} 두 대각선이 직교할 경우 삼각형 ${\displaystyle PMN}$은 ${\displaystyle P}$에서 직각을 갖는 직각 삼각형이며, 이 삼각형의 수심은 두 대각선의 교점 ${\displaystyle P}$이다. 즉, 브라마굽타 정리는 이 명제의 특수한 경우이다.

인도의 수학자 브라마굽타가 발견하였다.^{[1]:59, §3.2}

• 브라마굽타 공식

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Brahmagupta's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.