사영 평면

사영기하학에서 사영 평면(射影平面, 영어: projective plane)은 일반적인 평면과 유사하지만, “무한대”의 점이 존재하여 모든 두 직선이 항상 교차하게 되는 결합 구조이다.

결합 구조 ${\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )}$ 속의, 크기 ${\displaystyle n}$의 유한 집합 ${\displaystyle P\subseteq X}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle n}$각형(${\displaystyle n}$角形, 영어: ${\displaystyle n}$-gon)이라고 한다.

• 임의의 서로 다른 세 점 ${\displaystyle x,y,z\in P}$에 모두 인접하는 직선 ${\displaystyle l\in L}$은 존재하지 않는다.

결합 구조 ${\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )}$ 가운데, 다음 세 조건을 만족시키는 것을 사영 평면이라고 한다.

• 임의의 서로 다른 두 점 ${\displaystyle x,y\in X}$ (${\displaystyle x\neq y}$)에 대하여, ${\displaystyle x\vartriangleleft l\vartriangleright y}$인 유일한 직선 ${\displaystyle l\in L}$이 존재한다. 이를 보통 ${\displaystyle {\overline {xy}}}$로 표기한다.
• 임의의 서로 다른 두 선 ${\displaystyle l,m\in L}$에 대하여, ${\displaystyle l\vartriangleright x\vartriangleleft m}$인 유일한 점 ${\displaystyle x\in X}$이 존재한다. 이를 ${\displaystyle {\underline {lm}}}$으로 표기하자.
• 사각형이 존재한다.

사영 평면 ${\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )}$ 속의 두 삼각형 ${\displaystyle (x,y,z)}$, ${\displaystyle (x',y',z')}$이 주어졌다고 하고, 그 변들을 각각 ${\displaystyle (l,m,n),(l',m',n')}$이라고 하자.

만약 다음 조건이 성립한다면, 이 두 삼각형이 서로 축배경적(영어: axially in perspective)이라고 한다.

• ${\displaystyle {\underline {ll'}}}$, ${\displaystyle {\underline {mm'}}}$, ${\displaystyle {\underline {nn'}}}$ 세 점에 모두 인접하는 직선이 존재한다.

만약 다음 조건이 성립한다면, 이 두 삼각형이 서로 중심 배경적(영어: centrally in perspective)이라고 한다.

• ${\displaystyle {\overline {xx'}}}$, ${\displaystyle {\overline {yy'}}}$, ${\displaystyle {\overline {zz'}}}$ 세 직선에 모두 인접한 점이 존재한다.

만약 주어진 사영 평면 속의 임의의 두 삼각형에 대하여, 축배경성이 중심 배경성과 동치라면, 이 사영 평면이 데자르그 사영 평면(Desargues영어: Desarguesian projective plane)이라고 한다.

사영 평면 ${\displaystyle P=(X,L,\vartriangleleft )}$이 주어졌을 때, ${\displaystyle (L,X,\vartriangleright )}$, 즉

• ${\displaystyle P}$의 각 점에 대응하는 직선을 가지며,
• ${\displaystyle P}$의 각 직선에 대응하는 점을 가지며,
• ${\displaystyle P}$에서 인접하는 점과 직선은 인접하는 직선과 점에 대응되는

사영 평면을 구성할 수 있다. 이를 ${\displaystyle P}$의 쌍대 사영 평면(영어: dual projective plane)이라고 한다.

모든 사영 평면 ${\displaystyle (X,L,\vartriangleright )}$에 대하여, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle \forall l\in L\colon |\{x\in X\colon x\vartriangleleft l\}|=q+1}$인 2 이상의 (유한 또는 무한) 기수 ${\displaystyle q}$가 존재한다. 즉, 모든 직선은 ${\displaystyle q+1}$개의 점과 인접한다.
• 모든 점은 ${\displaystyle q+1}$개의 직선과 인접한다.
• ${\displaystyle |X|=|L|=q^{2}+q+1}$이다.
• ${\displaystyle q\not \in \{6,10\}}$이다.

다음과 같은 추측이 존재하지만, 이는 아직 미해결 난제이다.

유한 사영 평면의 차수 ${\displaystyle q}$는 항상 소수의 거듭제곱이다 (즉, 크기 ${\displaystyle q}$의 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$가 존재한다.)

예를 들어, ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{q})}$는 차수 ${\displaystyle q}$의 유한 사영 평면이다.

또한, 다음과 같은 추측이 존재하지만, 이 역시 미해결 난제이다.

소수 차수 ${\displaystyle p}$의 사영 평면은 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{p})}$ 밖에 없다.

결합 구조 가운데, 사영 평면의 세 공리 중 처음 두 개를 만족시키지만 셋째를 만족시키지 못하는 것들은 모두 분류되었으며, 다음 세 족 가운데 하나에 속한다.

• ${\displaystyle X=L=\varnothing }$. 이는 스스로의 쌍대 사영 평면이다. 이를 ${\displaystyle A}$로 표기하자.
• ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle L}$은 공집합이 아닌 임의의 집합, ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle l\in L}$, ${\displaystyle R=\{x\}\times L\cup X\times \{l\}}$. 이를 ${\displaystyle B_{|X|,|L|}}$로 표기하자. ${\displaystyle B_{|X|,|L|}}$의 쌍대 사영 평면은 ${\displaystyle B_{|L|,|X|}}$이다.
• ${\displaystyle S}$는 임의의 집합, ${\displaystyle L=\{l\}\sqcup S}$, ${\displaystyle X=\{x\}\sqcup S}$, ${\displaystyle R=\{x\}\times S\cup S\times \{l\}\cup \{(s,s)\colon s\in S\}}$. 이는 스스로의 쌍대 사영 평면이다. 이를 ${\displaystyle C_{|X|}}$로 표기하자.

${\displaystyle B_{2,2}=C_{2}}$이다. 이 경우를 제외하면, 이 세 족들은 서로소이다.

모든 데자르그 사영 평면은 분류되었으며, 다음과 같은 꼴이다. 어떤 나눗셈환 ${\displaystyle K}$에 대하여,

• ${\displaystyle X={\frac {K\times K\times K\setminus \{(0,0,0)\}}{(x,y,z)\sim (ax,ay,az)\qquad \forall a\in K^{\times },x,y,z\in K}}}$
• ${\displaystyle L}$의 원소는 ${\displaystyle K\times K\times K}$ 속의 2차원 부분 공간에서 0을 제거한 뒤, 동치 관계를 취한 것이다.

이를 ${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{2}}$로 표기한다.

특히, 크기 2의 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ 위의 사영 평면은 파노 사영 평면(영어: Fano projective plane)이라고 한다.

작은 차수 ${\displaystyle q}$의 유한 사영 평면들을 생각하자. ${\displaystyle q\leq 10}$인 유한 사영 평면들은 다음과 같다.

• 유한체 위의 사영 평면 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{2})}$, ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{3})}$, ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{4})}$, ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{5})}$, ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{7})}$, ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{8})}$, ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{9})}$
• 이 밖에도, 차수가 9인 세 개의 비(非)데자르그 사영 평면이 존재한다.^[1]

교대 대수 ${\displaystyle (A,+,0,\star )}$에서, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle A}$ 위의 사영 평면을 정의할 수 있으며, 이러한 꼴의 사영 평면을 무팡 사영 평면(영어: Moufang projective plane)이라고 한다. 모든 데자르그 사영 평면은 무팡 사영 평면이다. 반면, 예를 들어 팔원수 위의 사영 평면은 데자르그 사영 평면이 아닌 무팡 사영 평면이다.

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모든 사영 평면은 삼진환으로부터 구성될 수 있다. 반대로, 각 삼진환에는 사각형이 주어진 사영 평면을 대응시킬 수 있다.

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• 사영기하학

• Weibel, Charles (2007년 11월). “Survey of non-Desarguesian planes” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 54 (10): 1294–1303. 
• Salzmann, Helmut; Betten, Dieter; Grundhöfer, Theo; Hähl, Hermann; Löwen, Rainer; Stroppel, Markus (1995). 《Compact projective planes. With an introduction to octonion geometry》. De Gruyter Expositions in Mathematics (영어) 21. Walter de Gruyter & Co. ISBN 978-3-11-087683-3. 2015년 11월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 16일에 확인함. 

• “Projective plane”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Projective plane”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Projective plane PK²”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Moufang plane”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.