산술-기하 평균 부등식

수학에서, 산술-기하 평균 부등식(算術幾何平均不等式, 영어: arithmetic–geometric mean inequality)은 산술 평균과 기하 평균 사이에 성립하는 부등식이다. 이에 따르면, 음이 아닌 실수들의 산술 평균은 항상 기하 평균보다 크거나 같다. 또한, 두 평균이 같을 필요충분조건은 모든 수가 같은 것이다.

산술-기하 평균 부등식의 증명은 대부분 수학적 귀납법을 사용한다. 코시의 증명은 음이 아닌 실수들의 수가 2의 거듭제곱인 경우를 먼저 증명한다. 산술-기하 평균 부등식은 로그 함수의 오목성과 동치이다.

가중 산술 평균과 가중 기하 평균 사이에도 산술-기하 평균 부등식과 유사한 부등식이 성립한다. 산술-기하 평균 부등식은 소위 제곱-산술-기하-조화 평균 부등식의 일부이다.

유한 개의 음이 아닌 실수들 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\geq 0}$이 주어졌다고 하자. 다음과 같은 부등식이 성립하며, 이를 산술-기하 평균 부등식이라고 한다.

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}$

또한, 등호가 성립할 필요충분조건은, 모든 수들이 같은 것이다.

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$

수학적 귀납법을 사용하자. 우선, ${\displaystyle n=1}$인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, ${\displaystyle n}$개 수에 대한 산술-기하 평균 부등식이 성립한다는 가정 아래, ${\displaystyle n+1}$개 수 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n+1}\geq 0}$에 대한 산술-기하 평균 부등식을 보이자. 산술 평균을

${\displaystyle x={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n+1}}{n+1}}}$

로 적으면, 산술-기하 평균 부등식은 다음과 같다.

${\displaystyle x^{n+1}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}}$

${\displaystyle x^{n+1}=x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n+1}}$

만약 ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n+1}}$라면, 자명하게 등식이 성립한다. 만약 그렇지 않다면, ${\displaystyle x}$보다 큰 수와 ${\displaystyle x}$보다 작은 수의 쌍이 적어도 하나 존재하며, ${\displaystyle x_{n}>x>x_{n+1}}$라고 하여도 무방하다. 그렇다면,

${\displaystyle (x_{n}-x)(x-x_{n+1})>0}$

이다. 또한, 양의 실수

${\displaystyle y=x_{n}+x_{n+1}-x\geq x_{n}-x>0}$

를 정의하면,

${\displaystyle {\begin{aligned}nx&=(n+1)x-x\\&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}+x_{n+1}-x\\&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+y\end{aligned}}}$

이므로, ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle n}$개의 음이 아닌 실수 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},y}$의 산술 평균이기도 하다. 귀납 가정에 따라

${\displaystyle x^{n+1}=x^{n}x\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}yx}$

이다. 또한,

${\displaystyle yx-x_{n}x_{n+1}=(x_{n}+x_{n+1}-x)x-x_{n}x_{n+1}=(x_{n}-x)(x-x_{n+1})>0}$

이므로

${\displaystyle yx>x_{n}x_{n+1}}$

이다. 따라서, 다음이 성립한다.

${\displaystyle x^{n+1}=x^{n}x\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}yx\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_{n}x_{n+1}}$

이 경우, ${\displaystyle x>0}$이므로, 만약 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}}$ 가운데 0이 있다면, 첫번째 부등호는 등호일 수 없다. 만약에 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}\neq 0}$이라면, 두번째 부등호는 등호일 수 없다. 즉, 어떤 경우에도

${\displaystyle x^{n+1}>x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_{n}x_{n+1}}$

이다. 수학적 귀납법에 따라, 임의의 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle n}$개 수에 대한 산술-기하 평균 부등식이 성립한다.

만약

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$

이라면, 산술 평균과 기하 평균은 ${\displaystyle x_{1}}$로 같다. 만약 서로 다른 두 수가 존재한다면, 당연히 ${\displaystyle n>1}$이다. 만약 ${\displaystyle n=2}$이며, 서로 다른 두 수 ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$가 주어지면,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)^{2}-x_{1}x_{2}&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})-x_{1}x_{2}\\&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\\&=\left({\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}\right)^{2}>0\end{aligned}}}$

이므로,

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}>{\sqrt {x_{1}x_{2}}}}$

이다.

${\displaystyle n=2^{k}}$이 2의 거듭제곱인 경우, ${\displaystyle k}$에 대한 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있다. ${\displaystyle k=1}$인 경우, ${\displaystyle n=2}$이며, 이 경우는 이미 증명되었다. ${\displaystyle k-1}$에 대한 부등식을 가정한 채, ${\displaystyle k}$에 대한 부등식을 다음과 같이 보일 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}&{}={\frac {{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}}+{\frac {x_{2^{k-1}+1}+x_{2^{k-1}+2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k-1}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\frac {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}+{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\sqrt {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}}\\[7pt]&={\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}\end{aligned}}}$

여기서 첫번째 부등식이 등식이 되려면, 그 양변에 걸친 두 쌍의 산술 및 기하 평균이 각각 같아야 하므로

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k-1}}}$

${\displaystyle x_{2^{k}+1}=x_{2^{k}+2}=\cdots =x_{2^{k}}}$

이어야 한다. 두번째 부등식이 추가로 등식이 되려면, 그 양변에 걸친 한 쌍의 산술 및 기하 평균이 같아야 한다. 즉, 앞의 절반 및 뒤의 절반의 수들의 기하 평균이 서로 같아야 한다. 따라서, 둘 다 등식이려면

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k}}}$

이어야 한다. 그러나 서로 다른 수이므로, 둘 다 등식이 될 수는 없다. 따라서,

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}>{\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}}$

이다.

${\displaystyle n}$이 2의 거듭제곱 꼴이 아닌 경우, ${\displaystyle n}$보다 큰, 2의 거듭제곱 ${\displaystyle m=2^{k}>n}$을 고를 수 있다. (이를테면, ${\displaystyle k=n}$인 경우 ${\displaystyle 2^{n}>n}$이다.) 음이 아닌 실수 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ 및 그 산술 평균 ${\displaystyle x}$가 주어졌다고 하고, ${\displaystyle n}$개의 수를 다음과 같이 ${\displaystyle m}$개로 확장하자.

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n+2}=\cdots =x_{m}=x}$

그렇다면, 이미 증명한 ${\displaystyle m}$에 대한 부등식에 따라, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\\[6pt]&={\frac {{\frac {m}{n}}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+{\frac {m-n}{n}}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+(m-n)x}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}+\cdots +x_{m}}{m}}\\[6pt]&>{\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x_{n+1}\cdots x_{m}}}\\[6pt]&={\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x^{m-n}}}\end{aligned}}}$

따라서

${\displaystyle x^{m}>x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x^{m-n}}$

이다. 즉,

${\displaystyle x>{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}$

이다.

우선, ${\displaystyle n=1,2}$인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, ${\displaystyle n>1}$에 대한 부등식을 가정한 채, ${\displaystyle n+1>2}$에 대한 부등식을 보이자. 모든 수가 같은 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 서로 다른 두 수가 존재하는 경우, 당연히 ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$이라고 전제하여도 무방하다. 이 경우, 다음 식을 증명하여야 한다.

${\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}}{n+1}}-(x_{1}\cdots x_{n}x_{n+1})^{\frac {1}{n+1}}>0}$

이는 음이 아닌 실수 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\geq 0}$을 고정하고, 함수

${\displaystyle f(t)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+t}{n+1}}-(x_{1}\cdots x_{n}t)^{\frac {1}{n+1}}\qquad (t\geq 0)}$

를 정의하였을 때, 다음을 증명하여야 한다는 것과 같다.

${\displaystyle f(x_{n+1})>0}$

극값을 구하기 위해, ${\displaystyle f}$의 미분을 취하자.

${\displaystyle f'(t)={\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n+1}}t^{-{\frac {n}{n+1}}}}$

따라서, ${\displaystyle f}$는 다음과 같은 임계점을 갖는다.

${\displaystyle f'(t_{0})=0\iff t_{0}=(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}}}$

따라서, ${\displaystyle f}$의 가능한 극값은 다음과 같다.

${\displaystyle f(0)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t_{0})&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n(n+1)}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}+{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {n}{n+1}}\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\right)\\&>0\end{aligned}}}$

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=\infty >0}$

여기서, ${\displaystyle f(t_{0})=0}$일 수 없는 이유는, 이미 ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$이라고 전제하였기 때문이다. 모든 극값이 0보다 크므로, 임의의 ${\displaystyle t\geq 0}$에 대하여,

${\displaystyle f(t)>0}$

이다. 특히, ${\displaystyle t=x_{n+1}}$일 경우,

${\displaystyle f(x_{n+1})>0}$

이다. 이렇게 ${\displaystyle n+1}$에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.

산술-기하 평균 부등식은 양의 실수들 ${\displaystyle x_{1},x_{2}\dots ,x_{n}>0}$에 대한 다음과 같은 항등식과 동치이다.

${\displaystyle \ln {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}>{\frac {1}{n}}(\ln x_{1}+\ln x_{2}+\cdots +\ln x_{n})\qquad (\lnot x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})}$

이는 로그 함수의 옌센 부등식이므로, 로그 함수가 엄격 오목 함수임을 보이기만 하면 된다. 이는 이계 도함수 판정법

${\displaystyle (\ln x)''=\left({\frac {1}{x}}\right)'=-{\frac {1}{x^{2}}}<0\qquad (x>0)}$

에 따라 성립한다.

가중 산술 평균과 가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. n개의 음수가 아닌 실수들 x₁, x₂, …, x_n과 그에 대응하는 가중치 α₁, α₂, …, α_n가 있을 때, 가중치의 합 ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$이라 하면 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$

마찬가지로 이 부등식은 모든 x_k들이 같을 때 등식이 된다.

${\displaystyle \alpha _{k}=0(k=0,1,\cdots ,n)}$를 가중치로 갖는 ${\displaystyle x_{k}}$은 전체 식에 영향을 주지 않으므로 배제하고 생각하면, 증명에서 다루는 모든 ${\displaystyle \alpha _{k}}$는 양수라고 가정할 수 있다.

${\displaystyle f(x)=lnx}$에서 젠센 부등식을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

${\displaystyle x>0}$일 때 ${\displaystyle f(x)=lnx}$는 오목함수, 즉 위로 볼록한 함수이므로

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\Bigl (}{\frac {\alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}{\Bigr )}&>{\frac {\alpha _{1}}{\alpha }}\ln x_{1}+\cdots +{\frac {\alpha _{n}}{\alpha }}\ln x_{n}\\&=\ln {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}.\end{aligned}}}$

이다. ${\displaystyle f(x)=lnx}$는 단조증가함수이므로

${\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$

가 성립함이 증명된다.

산술-기하 평균 부등식에 제곱 평균과 조화 평균에 대한 결론을 추가할 수 있다. 음이 아닌 실수 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\geq 0}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}}$

특히, 각각의 부등호가 등호가 될 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다.

${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}<{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}<{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}<{\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}\qquad (\lnot x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})}$

${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}\qquad (x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})}$

이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 뮤어헤드 부등식과 일반화된 평균 부등식이 있다.

• 영의 부등식

• 이철희. “산술기하조화평균과 부등식”. 《수학노트》. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Arithmetic-logarithmic-geometric mean inequality”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Cauchy's mean theorem”. 《ProofWiki》 (영어).