소수로 이루어진 등차수열

수론에서 소수로 이루어진 등차수열(Primes in arithmetic progression)이란 적어도 세 항 이상의 연속적인 소수로 이루어진 등차수열을 말한다. 예를 들어 3, 7, 11 과 같은 수열이 있다. (5가 소수인지는 중요하지 않다)

이러한 수열은 무한히 길게 만들 수는 없지만 임의의 길이로 길게 만들 수는 있다. 벤 그린과 테렌스 타오는 2004년 이를 증명하여 그린-타오 정리(Green-Tao theorem)라고 부른다. 타오는 이 결과로 2006년 필즈상을 수상하였다. 3보다 큰 $k$ 에 대해 $k$ 개의 소수로 이루어진 등차수열을 AP-k라고 부른다.

큰 수에 대한 결과

길이가 긴 소수의 등차수열로 다음과 같은 것들이 알려져 있다.

5749146449311 + 26004868890n (n = 0, ... , 20)

11410337850553 + 4609098694200n (n = 0, ... , 21) (Moran, Pritchard, Thyssen, 1995)

56211383760397 + 44546738095860n (n = 0, ... , 22) (Frind, Underwood, Jobling, 2004)^[1]

관련 역사 및 최근의 결과

(Hardy-LIttlewood prime tuples conjecture) 1923년 고드프리 해럴드 하디와 존 이든저 리틀우드는 $N$ 이하의 소수 밀도에 대한 패턴에 대한 추측을 제시했는데, 골드바흐의 추측, 쌍둥이 소수 추측 등을 모두 아우르는 것으로 아직까지 미해결이다.
(van der Waerden's Theorem) 1927년 van der Waerden은 만약 모든 자연수를 유한한 종류의 색으로 칠한다면, 적어도 한가지 색에는 임의의 길이를 가지는 등차수열이 항상 존재함을 증명하였다.^[2]
(Erdős-Turán conjecture) 1936년 에르되시 팔과 투란 팔은 역수의 합이 발산하는 자연수의 임의의 부분집합에서 임의의 길이의 등차수열을 항상 존재함을 추측하였다. 이는 소수의 역수의 합의 발산성 때문에 그린-타오 정리를 포함한다. 아직 해결되지 않았다.^[3]
(Roth's theorem) 1956년 밀도가 영이 아닌 자연수의 임의의 부분집합은 길이 3인 등차수열이 무한히 많이 존재함을 증명하였다.
1969년 세메레디(Szemeréd)는 밀도가 영이 아닌 자연수의 임의의 부분집합은 길이 4인 등차수열이 무한히 많이 존재함을 증명하였다.
(Szemerédi's theorem) 1975년 밀도가 영이 아닌 자연수의 임의의 부분집합은 임의의 길이를 가지는 등차수열이 항상 존재함을 증명하였다.^[4]
1981년 Heath-Brown은 세 수가 소수이고 나머지 한 수가 거의 소수인 등차수열이 무한히 많음을 증명하였다. 여기서 '거의 소수'란 두 소수의 곱으로 표현되는 소수를 말한다.
(Green-Tao theorem) 2004년 벤 그린(Ben Green)과 테렌스 타오(Terence Tao)는 소수집합에서 임의의 길이를 가지는 등차수열이 항상 존재함을 증명하였다.(그린-타오 정리)
2004년 그린은 첸 소수(Chen prime; p+2가 거의 소수인 소수 p)로 이루어진 길이 3인 등차수열이 무한히 많음을 증명하였다.^[5]