소파 옮기기 문제

수학의 미해결 문제 단위 너비의 ㄱ자 복도를 통과할 수 있는 모양의 최대 넓이는 얼마인가? (더 많은 수학의 미해결 문제 보기)

소파 옮기기 문제(영어: Moving sofa problem) 또는 소파 문제(영어: Sofa problem)는 폭이 1인 복도에서 직각의 모서리를 끼고 있는 복도가 있을 때, 이 공간을 통과할 수 있는 단면적 A가 최대인 소파를 찾는 문제이다. 1966년에 제기된 이후 미해결 문제로 남아 있다. A는 소파 상수라고 불린다.^[1][2] 소파 상수의 상한은 미증명되었다.

소파 옮기기 문제에서는 조건이 있다.^[1]

1. 복도의 높이는 고려하지 않는다.
2. 복도의 길이는 결과와 무관하다.

이 문제는 최초로 공식적으로 오스트리아-캐나다인 수학자 레오 모서(Leo Moser)에 의해 1966년에 제시되었지만 그 전에도 비공식적인 언급은 많이 있었다.^[3]

'폭이 1m이고 직각 커브가 있는 복도를 지나 갈 수 있는 소파의 크기는 최대 몇 m²인가'라는 질문을 한 것이 이 문제의 시작이다. 여기서 소파는 도형이기만 하면 어떤 형태든 상관이 없으며, 3D가 아닌 2D로만 따지기에 높이나 기울이는 방법 등은 고려하지 않는다.

1968년 영국 수학자 존 헤머슬리(John Hammersley)는 넓이 2.2074의 전화기 모양 소파를 고안해 제시했다.

1992년 미국 수학자 조셉 거버(Joseph Leonide Gerver)는 헤머슬리의 소파를 발전시켜 2.2195라는 더 큰 면적 값을 구했다.

2024년 한국 수학자 백진언은 조셉 거버의 소파가 정답이라는 사실을 사실상 증명했다.

다음은 옮기기 가능하다고 증명된 도형 중 일부이다.

종류	설명	넓이
선분	길이 ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$	0
정사각형	한 변의 길이 ${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
직사각형		${\displaystyle 1}$
삼각형	밑변 ${\displaystyle 2}$, 높이 ${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
반원	반지름의 길이 ${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\approx 1.57}$
좌우이심의 소파		${\displaystyle \approx 1.645}$
해머즐리 소파		${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+{\frac {2}{\pi }}\approx 2.2074}$
게르버 소파		${\displaystyle \approx 2.2195}$

^[1][2]

소파의 단면적 A의 상한과 하한에 대한 연구가 많이 이루어졌다.

반지름의 길이가 1인 반원은 회전 이동을 통해 모서리를 통과할 수 있으니, 하한은 반원의 넓이 ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\approx 1.57}$ 보다 크다.^[1][2]

존 해머슬리(John Hammersley)가 고안한 해머슬리 소파(Hammersley's sofa)는 가로 ${\displaystyle 4/\pi }$ 세로 1인 직사각형에서 반지름이 ${\displaystyle 2/\pi }$인 반원을 잘라내어서 넓이가 ${\displaystyle 2/\pi }$ 인 도형 1개와, 반지름이 1이고 넓이가 각각 ${\displaystyle \pi /4}$ 인 사분면 2개로 이루어져 있다. 따라서 총 넓이가 가운데 부분 ${\displaystyle 2/\pi }$ 와 양 끝 부채꼴 ${\displaystyle \pi /2}$를 더한 값인 ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+{\frac {2}{\pi }}\approx 2.2074}$이다.^[1]

1992년 조제프 게르버(Joseph Gerver)가 고안한 게르버 소파(Gerver's sofa)는 해머슬리 소파와 비슷하지만, 18개의 곡선으로 이루어져 있다. 넓이는 약 ${\displaystyle 2.2195}$이다. 해머슬리 소파보다 약 0.01 더 넓다.^[1][4]

해머슬리는 소파 상수의 상계도 찾았다. ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\approx 2.8284}$이다.^[3][5]

요아브 캘러스(Yoav Kallus)와 단 로믹(Dan Romik)은 새로운 상계를 2017년 9월에 증명했다. 값이 더 낮아진 ${\displaystyle 2.37}$이다.^[6]

단 로믹(Dan Romik)이 고안한 좌우이심(左右二心)의 소파는 게르버 소파보다 더 아름다운 모양이다. 면적 공식은 다음과 같다. ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3+2{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{3-2{\sqrt {2}}}}-1+\tan ^{-1}\left\{{1 \over 2}\left({\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}+1}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}-1}}\right)\right\}\approx 1.645}$

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