수직축 정리

고전역학에서 수직축 정리(perpendicular-axis-theorem)란 임의의 평면판의 관성 모멘트는 그 수직축과 평면판의 교점을 지나고 평면판에서 서로 수직인 임의의 두 축에 대한 관성 모멘트의 합과 같음을 나타내는 정리이다.

원점 O에서 만나는 수직인 세 회전축 ${\displaystyle x,y,z}$를 정의하고, ${\displaystyle z}$축에 수직인 ${\displaystyle xy}$평면 위의 평면판을 정의하자. 이때, ${\displaystyle I_{x},I_{y},I_{z}}$를 각각 ${\displaystyle x,y,z}$축을 회전축으로 하는 관성 모멘트라고 하면, 수직축 정리는 다음을 나타낸다^[1]:

${\displaystyle I_{z}=I_{x}+I_{y}}$

이 정리는 평행축 정리와 더불어 관성 모멘트를 구하는데에 유용하게 쓰인다.

회전축이 ${\displaystyle z}$축인 ${\displaystyle xy}$평면 위의 평면판을 생각하자.

이때, 관성 모멘트 ${\displaystyle I_{z}}$${\displaystyle =\sum (x_{i}^{2}+y_{i}^{2})m_{i}}$이고,

${\displaystyle \sum (x_{i}^{2}+y_{i}^{2})m_{i}=\sum x_{i}^{2}m_{i}+\sum y_{i}^{2}m_{i}}$이다.

이때, 평면이 ${\displaystyle x}$축과 ${\displaystyle y}$축을 회전축으로 회전운동할 때의 관성 모멘트 ${\displaystyle I_{x}}$, ${\displaystyle I_{y}}$를 구하면

평면 위의 임의의 점 ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$에서 ${\displaystyle x}$축까지의 거리는 ${\displaystyle |y_{i}|}$, ${\displaystyle y}$축까지의 거리는 ${\displaystyle |x_{i}|}$ 이므로

${\displaystyle I_{x}=\sum y_{i}^{2}m_{i}}$ , ${\displaystyle I_{y}=\sum x_{i}^{2}m_{i}}$ 가 된다.

그러므로 ${\displaystyle I_{z}}$${\displaystyle =I_{x}+I_{y}}$ 임을 알 수 있다.

밀도가 균일한 원판의 관성 모멘트는 ${\displaystyle I={\frac {1}{2}}MR^{2}}$로 알려져 있다.

원판의 중심을 지나는 원판 위의 회전축에 의한 원판의 관성 모멘트를 ${\displaystyle I_{c}}$ 라 하면

회전축을 어떠한 방향으로 잡든 ${\displaystyle I_{c}}$의 값이 항상 같다.

이때, 수직축 정리에 의해 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}MR^{2}=2I_{c}}$가 성립하므로 ${\displaystyle I_{c}={\frac {1}{4}}MR^{2}}$를 얻는다.

• 평행축 정리