쉴로브 기저

군론에서 쉴로브 기저(Sylow基底, 영어: Sylow basis)는 어떤 군 속의, 서로 (집합으로서) 가환하는, 각 소수에 대한 쉴로브 부분군들의 족이다. 쉴로브 기저의 존재는 유한군이 가해군인 것과 동치이며, 만약 존재한다면 쉴로브 기저는 켤레 아래 유일하다.

소수의 집합을

${\displaystyle \mathbb {P} =\{2,3,5,7,11,\dotsc \}}$

로 표기하자.

군 ${\displaystyle G}$의 쉴로브 기저는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 모든 소수 ${\displaystyle p}$에 대하여, 쉴로브 ${\displaystyle p}$-부분군 ${\displaystyle S_{p}\in \operatorname {Syl} _{p}(G)}$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• ${\displaystyle S_{p}S_{q}=S_{q}S_{p}\qquad \forall p,q\in \mathbb {P} }$

유한군 ${\displaystyle G}$의 홀 부분군(영어: Hall subgroup)은 다음 성질을 만족시키는 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$이다.

• ${\displaystyle |H|}$와 ${\displaystyle |G/H|}$가 서로소이다.

소수의 집합 ${\displaystyle \pi \subseteq \mathbb {P} }$가 주어졌을 때, 유한군 ${\displaystyle G}$의 홀 ${\displaystyle \pi }$-부분군(영어: Hall ${\displaystyle \pi }$-subgroup)은 다음 성질을 만족시키는 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$이다.

• ${\displaystyle |H|}$의 모든 소인수는 ${\displaystyle \pi }$에 속하며, ${\displaystyle |G/H|}$의 모든 소인수는 ${\displaystyle \mathbb {P} \setminus \pi }$에 속한다.

만약 유한군의 쉴로브 기저 ${\displaystyle (S_{p})_{p\in \mathbb {P} }}$ 및 소수의 집합 ${\displaystyle \pi \subseteq \mathbb {P} }$이 주어졌을 때,

${\displaystyle \left\langle \bigcup _{p\in \pi }S_{p}\right\rangle \leq G}$

는 ${\displaystyle G}$의 홀 ${\displaystyle \pi }$-부분군이다.

유한군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle G}$는 가해군이다.
• 임의의 ${\displaystyle \pi \subseteq \mathbb {P} }$에 대하여, 홀 ${\displaystyle \pi }$-부분군이 존재한다.
• 임의의 ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$에 대하여, 홀 ${\displaystyle (\mathbb {P} \setminus \{p\})}$-부분군이 존재한다.
• 쉴로브 기저가 존재한다.

유한 가해군 ${\displaystyle G}$의 임의의 두 쉴로브 계는 서로 켤레 동치이다. 즉, 임의의 두 쉴로브 기저 ${\displaystyle (S_{p})_{p\in \mathbb {P} }}$, ${\displaystyle (S'_{p})_{p\in \mathbb {P} }}$에 대하여,

${\displaystyle gS_{p}g^{-1}=S_{p}\qquad \forall p\in \mathbb {P} }$

인 ${\displaystyle g\in G}$가 존재한다.

임의의 유한군 ${\displaystyle G}$의 정규 홀 부분군 ${\displaystyle N\vartriangleright G}$에 대하여, 슈어-차센하우스 정리(Schur-Zassenhaus定理, 영어: Schur–Zassenhaus theorem)에 따르면,

${\displaystyle NH=HN=G}$

${\displaystyle N\cap H=\{1\}}$

인 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$이 존재한다.

필립 홀이 1928년에 가해군에 대한 쉴로브 기저의 존재 및 켤레 아래 유일성을 증명하였다.^[1]

슈어-차센하우스 정리는 이사이 슈어가 증명하였으며, 한스 차센하우스의 1937년 군론 교재에 최초로 등장하였다.^[2]

• “Hall subgroup”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Sylow basis”. 《Groupprops》 (영어). 
• “Hall subgroup”. 《Groupprops》 (영어). 
• “Hall’s theorem”. 《Groupprops》 (영어). 
• Roney-Dougal, Colva M. “Soluble groups” (PDF) (영어). 2018년 7월 13일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 2월 2일에 확인함.