슈뢰더 방정식

에른스트 슈뢰더의 이름을 딴 슈뢰더 방정식(Schröder's equation)^[1][2][3]은 하나의 독립 변수를 갖는 함수 방정식이다. 함수 ${\displaystyle h}$가 주어지면 다음과 같은 함수 ${\displaystyle \Psi }$를 구한다.

슈뢰더 방정식은 함수 ${\displaystyle f}$를 ${\displaystyle f(h(\cdot ))}$로 보내는 합성 연산자 ${\displaystyle C_{h}}$에 대한 고유값 방정식이다.

${\displaystyle a}$가 ${\displaystyle h}$의 고정점인 경우, 즉, ${\displaystyle h(a)=a}$이면 ${\displaystyle \Psi (a)=0}$ (또는 ${\displaystyle \infty }$) ${\displaystyle s=1}$이다. 따라서, ${\displaystyle \Psi (a)}$가 유한하고 ${\displaystyle \Psi '(a)}$가 사라지거나 발산하지 않는 경우 고유값 ${\displaystyle s}$는 ${\displaystyle s=h'(a)}$로 제공된다.

가브리엘 쾨니히스는 1884년에, ${\displaystyle a=0}$에 대해 ${\displaystyle h}$가 단위 원판에 대해 해석적이고, ${\displaystyle 0}$을 고정시키고 ${\displaystyle 0<|h'(0)|<1}$이면 슈뢰더 방정식을 만족하는 해석적(자명하지 않은) ${\displaystyle \Psi }$가 있음을 보여주었다. 이는 해석 함수 공간에서 합성 연산자를 이해하는 데 유용한 긴 정리들의 줄의 첫 번째 단계 중 하나이다.(쾨니히스 함수 참조)

슈뢰더 방정식과 같은 방정식은 자기유사성을 인코딩하는 데 적합하므로 비선형계(종종 구어체로 혼돈 이론이라고도 함) 연구에 광범위하게 활용되었다. 이는 난류 연구와 재규격화군에도 사용된다.^[4][5]

슈뢰더 켤레 함수의 역 ${\displaystyle \Phi =\Psi ^{-1}}$에 대한 슈뢰더 방정식의 등가 전치 형식은 ${\displaystyle h(\Phi (y))=\Phi (sy)}$이다. 변수 ${\displaystyle \alpha (x)=\log(\Psi (x))/\log(s)}$(아벨 함수)의 변경은 슈뢰더의 방정식을 이전 아벨 방정식${\displaystyle \alpha (h(x))=\alpha (x)+1}$으로 추가로 변환한다. 마찬가지로, 변수 변환${\displaystyle \Psi (x)=\log(\varphi (x))}$은 슈뢰더 방정식을 뵈처 방정식, ${\displaystyle \varphi (h(x))=(\varphi (x))^{s}}$로 변환한다.

또한, 속도 ${\displaystyle \beta (x)=\Psi /\Psi '}$에 대해^[5], 줄리아 방정식 ${\displaystyle \beta (f(x))=f'(x)\beta (x)}$이 성립한다.

대신 슈뢰더 방정식 해의 ${\displaystyle n}$ 제곱은 고유값 ${\displaystyle s^{n}}$을 갖는 슈뢰더 방정식의 해를 제공한다. 같은 맥락에서 슈뢰더 방정식의 가역적 해 ${\displaystyle \Psi (x)}$에 대해 (비가역) 함수 ${\displaystyle \Psi (x)k\log(\Psi (x))}$도 주기가 ${\displaystyle \log(s)}$인 주기 함수 ${\displaystyle k(x)}$에 대한 해이다. 슈뢰더 방정식의 모든 해는 이러한 방식으로 관련되어 있다.

슈뢰더 방정식은 a가 끌개(초끌개는 아님) 고정점인 경우, 즉 ${\displaystyle 0<|h'(0)|<1}$일 때 가브리엘 쾨니히스(1884)가 풀었다.^[6][7]

초끌개 고정점의 경우 ${\displaystyle |h'(0)|=0}$이면 슈뢰더의 방정식은 다루기 힘들고 뵈처 방정식으로 변환하는 것이 가장 좋다.^[8]

슈뢰더의 1870년 원본 논문으로 거슬러 올라가는 특정 해가 많이 있다.^[1]

고정점 주변의 급수 전개와 결과 궤도에 대한 해의 관련 수렴 성질 및 해당 해석적 성질은 세케레시에 의해 설득력 있게 요약되었다.^[9] 몇몇 해는 점근적 급수로 제공된다. 칼먼 행렬 참조.

${\displaystyle h(x)}$에 의해 생성된 시스템(궤도)이 단순한 팽창처럼 보이는 새로운 좌표계를 찾아 이산 동적계를 분석하는 데 사용된다.

보다 구체적으로, 이산 단위 시간 단계가 ${\displaystyle x\rightarrow h(x)}$에 해당하는 계는 위의 슈뢰더 방정식, 켤레 방정식의 해로부터 재구성된 매끄러운 궤도 (또는 흐름)를 가질 수 있다.

즉, ${\displaystyle h(x)=\Psi ^{-1}(s\Psi (x))=h_{1}(x)}$.

일반적으로 모든 함수적 반복 (정규 반복 군, 반복 함수 참조)은 궤도에 의해 제공된다.

실수 t의 경우 — 반드시 양수이거나 정수일 필요는 없다. (따라서 완전 연속 군이다.) ${\displaystyle h_{n}(x)}$들의 집합, 즉 ${\displaystyle h(x)}$ (반 군)의 모든 양의 정수 반복의 집합을 ${\displaystyle h(x)}$의 분할 (또는 피카르 수열)이라고 한다.

그러나 ${\displaystyle h(x)}$의 모든 반복 (분수, 무한소 또는 음수)은 마찬가지로 슈뢰더 방정식을 풀기 위해 결정된 좌표 변환 ${\displaystyle \Psi (x)}$를 통해 지정된다. 초기 이산 재귀 ${\displaystyle x\rightarrow h(x)}$의 홀로그램 연속 보간이 구성되었다;^[10] 이는 사실상, 전체 궤도이다.

예를 들어, 범함수 제곱근은 ${\displaystyle h_{1/2}(x)=\Psi ^{-1}(s^{1/2}\Psi (x))}$이므로 ${\displaystyle h_{1/2}(h_{1/2}(x))=h(x)}$, 등등.

예를 들어, 혼돈의 경우 ${\displaystyle h(x)=4x(1-x)}$와 같은^[11] 로지스틱 사상의 특수 사례는 슈뢰더가 그의 원본 논문^[1] (p. 306)에서,

Ψ(x) = (arcsin √x)², s = 4, and hence h_t(x) = sin²(2^t arcsin √x).

실제로 이 해는 일련의 스위치백 전위^[12] ${\displaystyle V(x)\propto x(x-1)(n\pi +\arcsin {\sqrt {x}})^{2}}$에 의해 결정되는 동작으로 나타나는 것으로 보인다. 이는 슈뢰더 방정식의 영향을 받는 연속 반복의 일반적인 특징이다.

그는 또한 자신의 방법 ${\displaystyle h(x)=2x(1-x)}$로 설명했던 혼돈이 아닌 경우를 다음과 같이 나타낸다.

Ψ(x) = −⁠1/2⁠ln(1 − 2x), and hence h_t(x) = −⁠1/2⁠((1 − 2x)^2t − 1).

마찬가지로 베버튼-홀트 모델 ${\displaystyle h(x)=x/(2-x)}$의 경우^[10] ${\displaystyle \Psi (x)=x/(1-x)}$를 쉽게 찾을 수 있으므로^[13]

${\displaystyle h_{t}(x)=\Psi ^{-1}{\big (}2^{-t}\Psi (x){\big )}={\frac {x}{2^{t}+x(1-2^{t})}}.}$

• 뵈처 방정식