슈윙거-다이슨 방정식

양자장론에서 슈윙거-다이슨 방정식(영어: Schwinger–Dyson equation)은 오일러-라그랑주 방정식에 양자역학적 보정항을 추가한 방정식이다.

슈윙거-다이슨 방정식은 경로 적분을 통해 유도할 수 있다.^{[1]:306–308} 장 ${\displaystyle \phi (x)}$에 대한 범함수 ${\displaystyle X[\phi ]=X(\phi ,\partial _{\mu }\phi ,\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi ,\dots )}$의 변분은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\delta X[\phi ]}{\delta \phi }}={\frac {\partial X}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial X}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}+\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\frac {\partial X}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}+\cdots }$

경로 적분의 측도 ${\displaystyle D\phi }$가 변수의 재정의 ${\displaystyle \phi \mapsto \phi +\delta \phi }$에 대하여 불변이라고 하자. 그렇다면, 임의의 연산자 ${\displaystyle X[\phi ]}$에 대하여,

${\displaystyle 0=\int D\phi \,\delta (X\exp(iS/\hbar ))=\int D\phi \,\exp(i\hbar S)(\delta X+iX\delta S/\hbar )}$

이다. 이를 연산자로 쓰면 다음과 같다. 임의의 상태 ${\displaystyle |\psi \rangle }$에 대하여,

${\displaystyle \langle \psi |{\mathcal {T}}[X\delta S]|\psi \rangle =-i\hbar \langle \psi |{\mathcal {T}}[\delta X]|\psi \rangle }$

이를 슈윙거-다이슨 방정식이라고 한다. 여기서 ${\displaystyle {\mathcal {T}}[\cdots ]}$는 시간 순서 연산자이다. 이는 고전적 오일러-라그랑주 방정식

${\displaystyle \delta S=0}$

의 양자장론적 일반화이며, 우변 ${\displaystyle \hbar \langle {\mathcal {T}}[\delta X]\rangle }$은 양자역학적인 보정항에 해당한다.

예를 들어, ${\displaystyle X=\phi (x_{1})\phi (x_{2})\cdots \phi (x_{n})}$이라고 하자. 그렇다면 슈윙거-다이슨 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle \langle \psi |{\mathcal {T}}\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\cdots \phi (x_{n})\left({\frac {\partial S}{\partial \phi (x)}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial S}{\partial (\partial _{\mu }\phi (x))}}+\cdots \right)\right]|\psi \rangle =-i\sum _{i=1}^{n}\delta (x-x_{i})\langle \psi |{\mathcal {T}}[\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{i-1})\phi (x_{i+1})\cdots \phi (x_{n})]|\psi \rangle }$

임의의 n점 상관 함수 ${\displaystyle X=\phi (x_{1})\phi (x_{2})\cdots \phi (x_{n})}$에 대하여 슈윙거-다이슨 방정식을 적을 수 있다. 이들 방정식들을 하나로 모아 슈윙거-다이슨 으뜸 방정식(영어: Schwinger–Dyson master equation)으로 적을 수 있다.

우선, 어떤 고전적 샘장 ${\displaystyle J(x)}$을 추가하여, 작용이 ${\displaystyle S+\int d^{d}x\,\phi (x)J(x)}$이라고 하자. 이 경우, 추가로 연산자를 삽입하지 않으면 슈윙거-다이슨 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle 0=i\langle \psi |{\mathcal {T}}\left[{\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}+J(x)\right]|\psi \rangle _{J}=\int D\phi \,\exp(iS+i\int \phi J)\left(J(x)+i{\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}\right)=\left(iJ(x)+i{\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J(x)}}\right]\right)\int D\phi \,\exp(iS+i\int \phi J)}$

여기서

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \phi }}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]}$

는 ${\displaystyle \delta S/\delta \phi (x)}$에서 모든 ${\displaystyle \phi (x)}$를 ${\displaystyle -i\delta /\delta J(x)}$로 치환한 것이다. 즉, 이를 분배 함수

${\displaystyle Z[J]=\int D\phi \,\exp(iS+\int \phi J)}$

로 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle \left(J(x)+{\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J(x)}}\right]\right)Z[J]=0}$

이를 슈윙거-다이슨 으뜸 방정식이라고 하며, ${\displaystyle J(x)}$에 대하여 테일러 급수로 전개하면 n점 상관 함수에 대한 슈윙거-다이슨 방정식들을 얻는다.

프리먼 다이슨^[2]과 줄리언 슈윙거^[3][4] 가 도입하였다.

• 경로 적분 공식화

• Swanson, Eric S. (2010년 11월 12일). 〈A primer on functional methods and the Schwinger–Dyson equations〉. 《XI Hadron Physics》. AIP Conference Proceedings (영어) 1296. 75–121쪽. arXiv:1008.4337. Bibcode:2010AIPC.1296...75S. doi:10.1063/1.3523221. ISBN 978-0-7354-0848-7. 
• Kreimer, Dirk (2007). 〈Dyson–Schwinger equations: from Hopf algebras to number theory〉. 《Universality and Renormalization》. Fields Institute Communications (영어) 50. American Mathematical Society. 225–248쪽. arXiv:hep-th/0609004. Bibcode:2006hep.th....9004K. 
• Roberts, C. D.; A. G. Williams. “Dyson–Schwinger equations and the application to hadronic physics” (영어). arXiv:hep-ph/9403224.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Roberts, Craig D. “Strong QCD and Dyson–Schwinger equations” (영어). arXiv:1203.5341.