아이젠슈타인 판정법

대수학에서 아이젠슈타인 판정법(-判定法, 영어: Eisenstein’s criterion)은 정수 계수 다항식이 더 낮은 차수의 두 정수 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없을 충분조건을 제시하는 정리이다. 고트홀트 아이젠슈타인의 이름을 땄다.

유일 인수 분해 정역 ${\displaystyle R}$에서 계수를 취하는 ${\displaystyle n\geq 1}$차 다항식

${\displaystyle f(x)=r_{n}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots +r_{0}\in R[x]}$

가 주어졌다고 하자. 또한, 다음 세 조건을 만족시키는 기약원 ${\displaystyle p\in R}$가 존재한다고 하자.

${\displaystyle p\nmid r_{n}}$

${\displaystyle p\mid r_{0},\dots ,r_{n-1}}$

${\displaystyle p^{2}\nmid r_{0}}$

아이젠슈타인 판정법에 따르면, ${\displaystyle f(x)}$는 분수체 ${\displaystyle \operatorname {Frac} R}$의 다항식환 ${\displaystyle (\operatorname {Frac} R)[x]}$ 속에서 기약 다항식이다. 즉, ${\displaystyle f(x)}$는 더 낮은 차수의 두 ${\displaystyle R}$ 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 ${\displaystyle f(x)}$가 원시 다항식이라면, ${\displaystyle f(x)}$는 ${\displaystyle R[x]}$에서 기약 다항식이다.^{[1]:183, §IV.3, Theorem 3.1[2]:144, §III.10, Proposition 10.9}

보다 일반적으로, 정역 ${\displaystyle R}$에서 계수를 취하는 ${\displaystyle n\geq 1}$차 다항식

${\displaystyle f(x)=r_{n}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots +r_{0}\in R[x]}$

가 주어졌고, 다음을 만족시키는 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subsetneq R}$가 존재한다고 하자.

${\displaystyle r_{n}\not \in {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle r_{0},\dots ,r_{n-1}\in {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle r_{0}\not \in \{rs\colon r,s\in {\mathfrak {p}}\}}$

그렇다면, ${\displaystyle f(x)}$는 더 낮은 차수의 두 ${\displaystyle R}$ 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 ${\displaystyle f(x)}$의 계수의 공약수가 가역원밖에 없다면, ${\displaystyle f(x)}$는 ${\displaystyle R[x]}$에서 기약 다항식이다.^{[2]:145, §III.10, Exercise 14}

귀류법을 사용하여, ${\displaystyle f(x)}$가 ${\displaystyle (\operatorname {Frac} R)[x]}$의 기약 다항식이 아니라고 가정하자. 그렇다면, ${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}$인 ${\displaystyle d,e\geq 1}$차 다항식

${\displaystyle g(x)=s_{d}x^{d}+s_{d-1}x^{d-1}+\cdots +s_{0}\in R[x]}$

${\displaystyle h(x)=t_{e}x^{e}+t_{e-1}x^{e-1}+\cdots +t_{0}\in R[x]}$

가 존재한다.

${\displaystyle p\mid r_{0}=s_{0}t_{0}}$

이며, ${\displaystyle p}$는 소원이므로, ${\displaystyle p\mid s_{0}}$이거나 ${\displaystyle p\mid t_{0}}$이다. 편의상 ${\displaystyle p\mid s_{0}}$이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle p^{2}\nmid r_{0}}$이므로 ${\displaystyle p\nmid t_{0}}$이다. 이제,

${\displaystyle p\nmid r_{n}=s_{d}t_{e}}$

이므로 ${\displaystyle p\nmid s_{d}}$이며,

${\displaystyle p\mid s_{0},\dots ,s_{k-1}}$

${\displaystyle p\nmid s_{k}}$

인 ${\displaystyle 1\leq k\leq d}$를 고를 수 있다. 따라서

${\displaystyle p\nmid s_{0}t_{k}+s_{1}t_{k-1}+\cdots +s_{k-1}t_{1}+s_{k}t_{0}=r_{k}}$

이며, ${\displaystyle k\leq d<d+e=n}$이므로 이는 모순이다.

아이젠슈타인 판정법에 따라, 정수 계수 다항식 ${\displaystyle x^{4}+2\in \mathbb {Z} [x]}$는 기약 다항식이다. 보다 일반적으로, 임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ 및 2 이상의 제곱 인수가 없는 정수 ${\displaystyle a\geq 2}$에 대하여, ${\displaystyle x^{n}\pm a\in \mathbb {Z} [x]}$는 기약 다항식이다. 이에 따라, 유리수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$의 다항식환 ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$는 실수체나 복소수체와 달리 임의 차수의 기약 다항식을 가진다. 또한, 2 이상의 제곱 인수가 없는 정수 ${\displaystyle a\geq 2}$의 거듭제곱근 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ (${\displaystyle n\geq 2}$)는 항상 무리수이다.

소수 ${\displaystyle p}$에 대하여,

${\displaystyle f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +1={\frac {x^{p}-1}{x-1}}\in \mathbb {Q} [x]}$

의 기약성은 아이젠슈타인 판정법으로 직접 판단할 수 없다. 하지만 ${\displaystyle f(x)}$의 기약성은

${\displaystyle f(x+1)={\frac {(x+1)^{p}-1}{x}}=\sum _{i=1}^{p}{\binom {p}{i}}x^{i-1}\in \mathbb {Q} [x]}$

의 기약성과 동치이며,

${\displaystyle p\mid {\frac {p(p-1)\cdots (p-i+1)}{i!}}={\binom {p}{i}}\qquad \forall i\in \{1,\dots ,p-1\}}$

이므로 (이는 분모는 ${\displaystyle p}$의 배수이고 분자는 아니기 때문이다), 아이젠슈타인 판정법에 따라 ${\displaystyle f(x+1)\in \mathbb {Q} [x]}$는 기약 다항식이다. 따라서 ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Q} [x]}$ 역시 기약 다항식이다. 이는 ${\displaystyle p}$번째 원분 다항식과 같다.

아이젠슈타인 판정법에 따라, 초월 단순 확대 ${\displaystyle K(t)/K}$ 속 다항식

${\displaystyle x^{n}-t\in K(t)[x]}$

는 기약 다항식이다. 이는 ${\displaystyle K[t]}$가 유일 인수 분해 정역이며, ${\displaystyle t\in K[t]}$가 그 기약원이기 때문이다.

• 콘의 기약성 기준
• 힐베르트의 기약성 정리

• John B. Fraleigh, Victor Katz, A First Course In Abstract Algebra, Addison-Wesley, 2003.

• 이철희. “아이젠슈타인 기약다항식 판정법”. 《수학노트》. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Eisenstein's Irreducibility Criterion”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.