아인슈타인 반경

아인슈타인 반경(Einstein radius)은 아인슈타인 고리의 반경이다. 중력렌즈를 일반화하여 설명할 때 유용하게 사용되는 개념이다.

이하 유도에서 우리는 렌즈 역할을 하는 천체 ${\displaystyle L}$의 모든 질량 ${\displaystyle M}$이 은하 중심에 한 점으로 집중되어 있다고 가정한다.

광원 은하의 실제 위치와 천구상에서의 위치 사이의 각거리 ${\displaystyle \alpha }$는 그 크기가 매우 작으며, ${\displaystyle \alpha }$는 다음과 같이 나타낼 수 있다(슈바르츠실트 계량 참조).

${\displaystyle \alpha ={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{b}}}$

이때

${\displaystyle b}$는 충돌경수(광원의 빛이 지나가는 경로 중 렌즈 질량중심에서 가장 가까운 지점까지의 거리)

${\displaystyle G}$는 중력상수

${\displaystyle c}$는 광속이다.

위 그림의 모든 각도들이 매우 작고 단위가 라디안일 때 렌즈 역할을 하는 천체까지의 거리 ${\displaystyle D_{\rm {L}}}$과 천구상에서 렌즈 역할을 하는 천체와 광원 천체 사이의 겉보기 각거리 ${\displaystyle \theta _{1}}$은 다음 관계를 갖는다.

${\displaystyle b={\theta _{1}}{D_{\rm {L}}}}$

그리고 ${\displaystyle \alpha }$를 다음과 같이 다시 표현할 수 있다.

${\displaystyle \alpha (\theta _{1})={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{\theta _{1}}}{\frac {1}{D_{\rm {L}}}}}$ (식 1)

렌즈 역할 천체와 광원 천체의 실제 위치 사이의 각거리를 ${\displaystyle \theta _{\rm {S}}}$로 잡으면

${\displaystyle \theta _{1}\;D_{\rm {S}}=\theta _{\rm {S}}\;D_{\rm {S}}+\alpha \;D_{\rm {LS}}}$

이것을 다시 쓰면

${\displaystyle \alpha (\theta _{1})={\frac {D_{\rm {S}}}{D_{\rm {LS}}}}(\theta _{1}-\theta _{\rm {S}})}$ (식 2)

(식 1)과 (식 2)가 같다고 한 뒤 식을 정리하면

${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{1}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {S}}D_{\rm {L}}}}}$

렌즈 너머의 광원이 관찰자-렌즈와 일직선상에 있을 때, 즉 ${\displaystyle \theta _{\rm {S}}=0}$일 때 ${\displaystyle \theta _{1}}$ 값을 아인슈타인 반경이라고 하며, 기호는 ${\displaystyle \theta _{\rm {E}}}$이다. 위 식에 ${\displaystyle \theta _{\rm {S}}=0}$을 대입하여 ${\displaystyle \theta _{1}}$에 대하여 풀면

${\displaystyle \theta _{E}=\left({\frac {4GM}{c^{2}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {L}}D_{\rm {S}}}}\right)^{1/2}}$

결국

${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{1}}}}$

이므로 이것을 ${\displaystyle \theta _{1}}$에 대한 2차방정식 ${\displaystyle {\theta _{1}}^{2}-\theta _{\rm {S}}{\theta _{1}}-\theta _{E}^{2}=0}$으로 생각하면

${\displaystyle {\theta _{1}}_{\pm }={{\theta _{\rm {S}}\pm {\sqrt {{\theta _{\rm {S}}}^{2}+4\theta _{\rm {E}}}}} \over 2}}$

${\displaystyle \theta _{\rm {S}}=0}$이면 ${\displaystyle {\theta _{1}}_{+}={\theta _{1}}_{-}=\theta _{\rm {E}}}$ 로 광원 천체가 렌즈 천체 주위의 고리 모양으로 보이며, 이것을 아인슈타인 고리라고 한다. 아인슈타인 고리의 반경은 아인슈타인 반경과 같다.

${\displaystyle \theta _{\rm {S}}\neq 0}$이면 광원 천체는 렌즈 천체 주위에 아인슈타인 반경보다 큰 반경의 호가 하나, 아인슈타인 반경보다 작은 반경의 호가 하나의 모습으로 보이게 된다.

• 아인슈타인 고리