알렉산드로프 콤팩트화

일반위상수학에서 알렉산드로프 콤팩트화(Александров compact化, 영어: Alexandroff compactification)는 주어진 위상 공간에 한 점을 추가하여 콤팩트 공간으로 만드는 방법이다. 한 점 콤팩트화(영어: one-point compactification)이라고 부르기도 한다. 스톤-체흐 콤팩트화와 달리, 알렉산드로프 콤팩트화는 원래 공간이 콤팩트 하우스도르프 공간이더라도 항상 한 개의 점을 추가하며, 또한 원래 공간이 국소 콤팩트 공간이 아닐 경우 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.

정의

$X$ 가 임의의 위상 공간이라고 하자. 여기에 한 점 $\infty$ 를 추가하여, $X_{+}=X\sqcup \{\infty \}$ 에 다음과 같은 위상을 부여하자. $X_{+}$ 의 부분집합 $U\subset X_{+}$ 가 열린 집합일 조건은 다음과 같다.

만약 $\infty \not \in U$ 라면, $U\subset X$ 가 $X$ 의 위상에서 열린 집합일 때
만약 $\infty \in U$ 라면, $X_{+}\setminus U\subset X$ 가 $X$ 의 위상에서 닫힌 집합이며 콤팩트 집합일 때

이렇게 위상을 부여한 위상 공간 $X_{+}$ 는 항상 콤팩트 공간이다.

증명:

$X_{+}$ 의 열린 덮개 ${\mathcal {U}}$ 가 주어졌다고 하자. 그 유한 부분 덮개를 찾으면 족하다.

열린 덮개의 정의에 따라, $\infty \in U\in {\mathcal {U}}$ 가 존재한다. 알렉산드로프 콤팩트화의 정의에 따라, $X_{+}\setminus U$ 는 콤팩트 공간이며, ${\mathcal {U}}$ 를 이에 제한하면 이는 $X_{+}\setminus U$ 의 열린 덮개를 이룬다. 따라서 그 유한 부분 덮개 ${\mathcal {U}}'\subseteq {\mathcal {U}}$ 를 찾을 수 있다. 이제, ${\mathcal {U}}'\cup \{U\}$ 는 $U\cup (X_{+}\setminus U)=X_{+}$ 를 덮는 유한 부분 덮개이다.

이를 알렉산드로프 콤팩트화라고 한다. 또한, 자연스러운 포함 사상 $i\colon X\hookrightarrow X_{+}$ 가 존재하며, $X_{+}$ 는 밑점 $\infty \in X_{+}$ 로 인하여 자연스럽게 점을 가진 공간을 이룬다.

성질

포함 사상 $i\colon X\hookrightarrow X_{+}$ 는 항상 연속 함수이며 (열린집합의 원상은 열린집합) 열린 함수이다 (열린집합의 상은 열린집합). 만약 $X$ 가 콤팩트하지 않은 경우 $i$ 의 상은 조밀 집합이다.

임의의 위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$X_{+}$ 가 하우스도르프 공간이다.
$X$ 가 하우스도르프 국소 콤팩트 공간이다.

연산과의 호환

임의의 두 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ , $Y$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

(X\times Y)_{+}\cong X_{+}\wedge Y_{+}

여기서 $\cong$ 은 점을 가진 공간의 위상 동형이며, $\wedge$ 는 두 점을 가진 공간의 분쇄곱이다.

함자성

다음과 같은 두 범주를 생각하자.

${\mathcal {C}}$ 의 대상은 위상 공간이며, 사상은 연속 함수인 고유 함수이다.
${\mathcal {D}}$ 의 대상은 위상 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname {Top}$ 의 화살표 범주이다. (즉, 그 대상은 연속 함수이며, 그 사상은 두 연속 함수 사이의 가환 네모이다.)

그렇다면, 알렉산드로프 콤팩트화는 함자

{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}

를 이룬다. 특히, 임의의 연속 고유 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음과 같은 가환 네모를 만족시키는 자연스러운 연속 함수 $f_{+}\colon X_{+}\to Y_{+}$ 가 존재한다.

{\begin{matrix}X&{\overset {f}{\to }}&Y\\\downarrow &&\downarrow \\X_{+}&{\underset {f_{+}}{\to }}&Y_{+}\end{matrix}}

예

유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 알렉산드로프 콤팩트화는 초구 $S^{n}$ 과 위상 동형이다.

가산 무한 개의 열린 구간 $(0,1)\times \mathbb {Z}$ 의 알렉산드로프 콤팩트화는 하와이 귀고리와 위상 동형이다.

역사

파벨 세르게예비치 알렉산드로프가 1924년 정의하였다.^[1]

각주

↑ Alexandroff, P.S. (1924년 9월). “Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 92 (3–4): 294–301. doi:10.1007/BF01448011. ISSN 0025-5831. JFM 50.0128.04.