약수 함수

정수론에서 약수 함수(約數函數, 영어: divisor function)는 주어진 수의 양의 약수들의 거듭제곱의 합으로 정의되는 수론적 함수다.

자연수 ${\displaystyle n}$과 복소수 ${\displaystyle a}$에 대하여, 약수 함수 ${\displaystyle \sigma _{a}(n)}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{a}(n)=\sum _{d\mid n}d^{a}}$

여기서 ${\displaystyle \textstyle \displaystyle \sum _{d\mid n}}$은 ${\displaystyle n}$의 양의 약수들에 대한 합이다. 이 경우 1과 ${\displaystyle n}$ 자신을 포함시키지만, 양수가 아닌 약수는 포함시키지 않는다.

${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$은 ${\displaystyle d(n)}$로도 나타내며, ${\displaystyle n}$의 약수의 개수에 해당한다.

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\#\{d\in \mathbb {Z} ^{+}\colon d\mid m\}}$

${\displaystyle \sigma _{1}(n)}$은 시그마 함수 ${\displaystyle \sigma (n)}$라고 하며 ${\displaystyle n}$의 모든 양의 약수의 합을 나타낸다.

${\displaystyle \sigma (n)=\sigma _{1}(n)=\sum _{d\mid n}d}$

${\displaystyle s(n)}$ = ${\displaystyle \sigma (n)}$ - ${\displaystyle n}$으로 표시하며, 이 값은 ${\displaystyle n}$에서 자기 자신을 제외한 양의 약수의 합에 해당한다. ${\displaystyle s(n)}$ = ${\displaystyle n}$이 되는 수를 완전수라 한다.

p가 소수일 때에만

${\displaystyle \sigma _{1}(p)=p+1}$

이 성립한다. 정의에 의해 소수의 양의 약수는 1과 소수 자신 뿐이기 때문이다.

약수 함수는 곱셈적이다. 그러나 완전 곱셈적은 아니다.

만약 ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{\alpha _{i}}}$ 로 소인수 분해된다면,

${\displaystyle d(n)=\prod _{i=1}^{r}(\alpha _{i}+1)}$,

${\displaystyle \sigma (n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{\alpha _{i}+1}-1}{p_{i}-1}}}$

이 된다. 일반적으로 a>0인 경우,

${\displaystyle \sigma _{a}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(\alpha _{i}+1)a}-1}{p_{i}^{a}-1}}}$

이 성립한다.

그리고 오일러-마스케로니 상수 값을 γ로 적을 때,

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ln \ln n}}=e^{\gamma }}$

가 된다.

• 수론적 함수
• 오일러 피 함수
• 유니타리 약수

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Divisor function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.