용량 차원

기하학에서, 용량 차원(영어: capacity dimension)은 정수 값이 아닐 수 있는 차원의 하나이다.

거리 공간 ${\displaystyle X}$가 주어졌다고 하자. 임의의 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, ${\displaystyle N_{\epsilon }(X)}$가 ${\displaystyle X}$의 덮개를 이루는 지름이 ${\displaystyle \epsilon }$인 공들의 최소 개수라고 하자. ${\displaystyle X}$의 용량 차원 ${\displaystyle \dim _{\operatorname {C} }X}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \dim _{\operatorname {C} }X=\limsup _{\epsilon \to 0}{\frac {\ln N_{\epsilon }(X)}{\ln {\frac {1}{\epsilon }}}}}$

칸토어 집합 ${\displaystyle C}$는 닫힌구간 ${\displaystyle [0,1]}$에서 시작하여 각 구간에서 가운데 1/3을 제거하는 과정을 거듭하여 만들어진다. 각 과정마다 구간의 개수는 2배씩 늘어나며, 각 구간의 길이는 1/3씩 줄어들므로, ${\displaystyle \epsilon _{n}=1/3^{n}}$을 취할 경우 ${\displaystyle N_{\epsilon _{n}}(C)=2^{n}}$이다. 따라서 용량 차원은

${\displaystyle \dim _{\operatorname {C} }C=\lim _{n\to \infty }{\frac {n\ln 2}{n\ln 3}}={\frac {\ln 2}{\ln 3}}\approx 0.63}$

이다. 이는 ${\displaystyle C}$의 하우스도르프 차원과 같다.

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Capacity dimension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.