유리 함수층

대수기하학에서 유리 함수층(有理函數層, 영어: sheaf of rational functions)는 어떤 대수다양체 위에 존재하는 유리 함수들로 구성된 층이다.

정역 스킴 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 위의 유리 함수층 ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{X}}$는 다음과 같은 체 값을 갖는 층이다. 임의의 공집합이 아닌 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$에 대하여,

${\displaystyle \Gamma (U;{\mathcal {K}}_{X})=\operatorname {Frac} (\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X}))}$

즉, 각 열린집합에 대응하는 정칙 함수들의 정역에 분수체를 취한 것이다. 물론, 공집합의 경우 층의 값은 항상 자명환이다.

${\displaystyle \Gamma (\varnothing ;{\mathcal {K}}_{X})=0}$

임의의 국소환 달린 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$의 유리 함수층 ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{X}}$는 다음과 같이 정의한다.^{[1][2]:140–141, §II.6}

각 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$ 및 ${\displaystyle x\in U}$에 대하여, 줄기 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$로 가는 표준적인 제약 사상

${\displaystyle \operatorname {res} _{U,x}\colon \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\to {\mathcal {O}}_{X,x}}$

이 존재한다. 그렇다면, 다음과 같은 집합을 정의하자.

${\displaystyle S_{U}=\left\{f\in \Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})\colon \operatorname {res} _{U,x}(f)\in \operatorname {Reg} ({\mathcal {O}}_{X,x})\right\}=\bigcap _{x\in U}\operatorname {res} _{U,x}^{-1}\left(\operatorname {Reg} ({\mathcal {O}}_{X,x})\right)\subset \Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Reg} (-)}$는 가환환에서 영인자가 아닌 원소들의 곱셈 모노이드이다. 이는 곱셈 모노이드들의 교집합이므로 역시 곱셈 모노이드를 이룬다.

그렇다면 ${\displaystyle X}$ 위의 준층 ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {K}}}_{X}}$를 다음과 같은 국소화로 정의하자.

${\displaystyle \Gamma (U;{\tilde {\mathcal {K}}}_{X})=S_{U}^{-1}\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})}$

여기서 ${\displaystyle S_{U}^{-1}}$은 국소화이다. 이 경우, 제약 사상은 국소화로 유도되는 자연스러운 사상들이다. ${\displaystyle X}$ 위의 유리 함수층 ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{X}}$는 준층 ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {K}}}_{X}}$의 층화이며, 이는 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-가군층을 이룬다.

임의의 스킴 위의 유리 함수층의 경우, 단면들이 체를 이루지 않을 수 있다.

${\displaystyle X}$가 국소 뇌터 스킴이거나, 또는 축소 스킴이며 그 기약 성분의 집합이 국소적으로 유한하다고 하자 (즉, 임의의 점 ${\displaystyle x}$에 대하여, 그 기약 성분의 수가 유한한 열린 근방 ${\displaystyle U\ni x}$가 존재한다). 그렇다면, 유리 함수층의 줄기는 구조층의 줄기의 전분수환과 같다.^{[1]:205[3]:Lemma 7.1.12b}

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{X,x}=\operatorname {Frac} ({\mathcal {O}}_{X,x})}$

가환환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 전분수환 ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$에서 스펙트럼 위의 유리 함수환으로 가는 표준적인 환 준동형

${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)\to \Gamma (\operatorname {Spec} R;{\mathcal {K}}_{\operatorname {Spec} R})}$

이 존재하며, 이는 항상 단사 함수이다.^{[3]:Remark 7.1.14}

만약 ${\displaystyle R}$가 뇌터 환이거나, 또는 유한 개의 극소 소 아이디얼들을 갖는 축소환이라면, 이는 환의 동형 사상을 이룬다.^{[3]:Lemma 7.1.12b} 그러나 일반적으로 이는 동형 사상이 아니다.

국소환 달린 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 위에는 다음과 같은 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 1\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {K}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 1}$

여기서 ${\displaystyle (-)^{\times }}$는 가역원층을 뜻한다. 이에 따라서 다음과 같은 층 코호몰로지 긴 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 1\to \Gamma (X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })\to \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{2}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \cdots }$

여기서 각 코호몰로지 군들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

• ${\displaystyle \Gamma (X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}$: 가역 정칙 함수군
• ${\displaystyle \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })}$: 가역 유리 함수군
• ${\displaystyle \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}$: 카르티에 인자 군
• ${\displaystyle \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })/\Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })}$: 카르티에 인자 유군
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}$: 피카르 군

체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 0차원 아핀 공간 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{0}\operatorname {Spec} K=\{(0)\}}$은 한원소 공간이며, 이 경우

${\displaystyle \Gamma (\operatorname {Spec} K,{\mathcal {K}}_{\operatorname {Spec} K})=K}$

${\displaystyle \Gamma (\varnothing ,{\mathcal {K}}_{\operatorname {Spec} K})=0}$

이다.

체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 아핀 직선 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}=\operatorname {Spec} K[x]}$의 경우,

${\displaystyle \Gamma (\mathbb {A} _{K}^{1},{\mathcal {K}}_{\mathbb {A} _{K}^{1}})=K(x)}$

이다. 즉, ${\displaystyle K}$의 계수의 유리 함수들의 체이다.

알렉산더 그로텐디크가 1967년에 도입하였으나,^{[4]:226–227, Propositions 20.1.1–3} 그로텐디크의 정의는 문제가 있었다. 이를 스티븐 클라이먼(영어: Steven Kleiman)이 1979년에 지적하고 교정하였다.^[1]

• 카르티에 인자

• “Rational function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Sheaf of rational functions”. 《nLab》 (영어). 
• de Jong, Johan (2010년 12월 3일). “Rational maps”. 《Stacks Project Blog》 (영어). 
• “Extra principal Cartier divisors on non-Noetherian rings?”. 《Math Overflow》 (영어).