유한형 사상

대수기하학에서 유한형 사상(有限型寫像, 영어: morphism of finite type, 프랑스어: morphisme de type fini)은 대략 유한 개의 변수에 대한 다항 함수에 대응하는 스킴 사이의 사상이다.

두 가환환 사이의 환 준동형 ${\displaystyle f\colon R\to S}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle S}$는 ${\displaystyle f}$를 통해 ${\displaystyle R}$-가환 결합 대수를 이룬다. 만약 ${\displaystyle S}$가 ${\displaystyle R}$-유한 생성 가환 결합 대수라면 (즉, 만약 어떤 충분히 큰 자연수 ${\displaystyle n}$에 대하여 ${\displaystyle S}$가 ${\displaystyle R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]}$의 ${\displaystyle R}$-몫대수와 ${\displaystyle R}$-가환 결합 대수로서 동형이라면), ${\displaystyle f}$를 유한형 준동형(有限型準同型, 영어: finite-type homomorphism)이라고 한다.

이 개념은 스킴에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. 스킴 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 국소 유한형 사상(局所有限型寫像, 영어: morphism locally of finite type)이라고 한다

• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 ${\displaystyle x\in \operatorname {Spec} R\subseteq X}$ 및 ${\displaystyle f(x)\in \operatorname {Spec} S\subseteq Y}$가 존재한다.

  환 준동형 ${\displaystyle S\to R}$은 유한형 준동형이다.

• 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle Y}$의 아핀 열린 덮개 ${\displaystyle (V_{i}\cong \operatorname {Spec} R_{i})_{i\in I}}$ 및 각 ${\displaystyle i\in I}$에 대하여 ${\displaystyle f^{-1}(V_{i})}$의 아핀 열린 덮개 ${\displaystyle (U_{j}\cong \operatorname {Spec} S_{j})_{j\in J_{i}}}$가 존재한다.

  각 ${\displaystyle i\in I}$ 및 ${\displaystyle j\in J_{i}}$에 대하여, 환 준동형 ${\displaystyle R_{i}\to S_{j}}$는 유한형 준동형이다.

준콤팩트 함수인 국소 유한형 사상을 유한형 사상(有限型寫像, 영어: morphism of finite type)이라고 한다.^{[1]:84[2]:87, Definition 3.2.1}

유한 생성 가군이 되는 것은 유한 생성 대수가 되는 것보다 매우 강한 조건이며, 따라서 유한 사상은 유한형 사상보다 매우 더 강한 조건이다.

두 가환환 사이의 환 준동형 ${\displaystyle f\colon R\to S}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle S}$는 ${\displaystyle f}$를 통해 ${\displaystyle R}$-가환 결합 대수를 이룬다. 만약 다음 조건이 성립한다면, ${\displaystyle f}$를 유한 표시 준동형(有限表示準同型, 영어: finitely presented homomorphism)이라고 한다.

• 만약 어떤 충분히 큰 자연수 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle S}$가 ${\displaystyle R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]}$의 ${\displaystyle R}$-몫대수 ${\displaystyle R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {a}}}$와 ${\displaystyle R}$-가환 결합 대수로서 동형이며, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$는 유한 생성 아이디얼로 잡을 수 있다.

이 개념은 스킴에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. 스킴 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 주어졌다고 하자. 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 ${\displaystyle x\in \operatorname {Spec} R\subseteq X}$ 및 ${\displaystyle f(x)\in \operatorname {Spec} S\subseteq Y}$가 존재한다면, ${\displaystyle f}$를 국소 유한 표시 사상(局所有限表示寫像, 영어: morphism locally of finite presentation)이라고 한다.

• 환 준동형 ${\displaystyle S\to R}$은 유한 표시 준동형이다.

준콤팩트 함수이자 준분리 사상인 국소 유한 표시 사상을 유한 표시 사상(有限表示寫像, 영어: morphism of finite presentation)이라고 한다.

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

스킴 사상	⊃	국소 유한형 사상	⊃	유한형 사상	⊃	고유 사상	⊃	유한 사상	⊃	닫힌 몰입
		∪		∪
		국소 유한 표시 사상	⊃	유한 표시 사상
		∪
		에탈 사상
		∪
		열린 몰입

공역이 국소 뇌터 스킴인 스킴 사상의 경우,

국소 유한형 사상 = 국소 유한 표시 사상

유한형 사상 = 유한 표시 사상

이 성립한다.

${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$가 유한형 사상 · 국소 유한형 사상 · 유한 표시 사상 · 국소 유한 표시 사상 · 유한 사상 조건 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• (합성에 대한 닫힘) ${\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle g}$가 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$-사상이라면 ${\displaystyle g\circ f}$ 역시 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$-사상이다.
• (밑 변환에 대하여 안정) ${\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y\leftarrow Y'}$ 에 대하여, 만약 ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$-사상이라면 밑 변환 ${\displaystyle f'\colon X\times _{Y}Y'\to Y'}$ 역시 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$-사상이다.
• (fpqc 위상에서의 내림) ${\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xleftarrow {g}}Y'}$에 대하여, 만약 밑 변환 ${\displaystyle f'\colon X\times _{Y}Y'\to Y'}$가 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$-사상이며, ${\displaystyle g}$가 fpqc 사상이라면 ${\displaystyle f}$ 역시 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$-사상이다.

여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.

체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 아핀 공간 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{n}=\operatorname {Spec} K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$은 자연스러운 사상

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{n}\to \mathbb {A} _{K}^{0}=\operatorname {Spec} K}$

을 갖는다. 이는 유한형 사상이지만, ${\displaystyle n>0}$이라면 유한 사상이 아니다.

환 준동형

${\displaystyle K[x]\to K[x,y]/(y^{2}-x^{3}-x)}$

으로 유도되는 아핀 스킴 사상

${\displaystyle \operatorname {Spec} K[x,y]/(y^{2}-x^{3}-x)\to \mathbb {A} _{K}^{1}}$

는 유한 사상이며 따라서 유한형 사상이다.

• “Morphism of finite type”. 《nLab》 (영어). 
• “Morphism of finite presentation”. 《nLab》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2010년 12월 26일). “The finite presentation trick: Or, how to get the non-noetherian form of Chevalley’s theorem”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 
• “Finite type/finite morphism” (영어). Math Overflow. 
• “Why does finitely presented imply quasi-separated?” (영어). Math Overflow. 

• 고유 사상