일반선형군

수학에서 일반선형군(一般線型群, 영어: general linear group)은 주어진 벡터 공간의 가역 선형 변환들이 이루는 군이다.

체 ${\displaystyle K}$에 대한 벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 일반선형군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$은 가역 선형 변환 ${\displaystyle M\colon V\to V}$들의, 함수의 합성에 대한 군이다. 이는 ${\displaystyle K}$-대수군을 이룬다.

만약 ${\displaystyle V}$가 유한 차원 ${\displaystyle V=K^{n}}$일 경우, ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$를 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;K)}$라고 쓴다. 이는 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle K}$-가역행렬들의 군으로 여길 수 있다. 만약 ${\displaystyle K}$가 실수체 또는 복소수체인 경우, 이는 실수 또는 복소 리 군이다.

실수 일반선형군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )}$은 ${\displaystyle n^{2}}$차원 실수 리 군이다. 그 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {R} )}$는 ${\displaystyle n\times n}$ 실수 행렬들의 리 대수이다.

다양체로서, 실수 일반선형군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )}$은 콤팩트 공간 또는 연결 공간이 아니며, 두 개의 연결 성분을 갖는다. 이는 각각 행렬식이 양수인 성분과 음수인 성분이다. 단위원을 포함하는, 행렬식이 양수인 부분공간 ${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n;\mathbb {R} )}$은 정규 부분군을 이루며, 이에 대한 몫군은 물론 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$이다.

복소 일반선형군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}$은 복소 ${\displaystyle n^{2}}$차원 (실수 ${\displaystyle 2n^{2}}$차원) 리 군이다. 그 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} )}$는 ${\displaystyle n\times n}$ 복소 행렬들의 리 대수이다.

다양체로서, 복소 일반선형군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}$은 연결 공간이며, 콤팩트하지 않다. 그 기본군은

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )\cong \mathbb {Z} }$

이다.

유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$의 경우, 간혹 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {F} _{q})}$ 대신 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;q)}$로 쓰기도 한다. ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {F} _{q})}$의 크기는 다음과 같다.

${\displaystyle \left|\operatorname {GL} (n;\mathbb {F} _{q})\right|=(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\ \ldots \ (q^{n}-q^{n-1})}$

• 유한단순군의 목록
• 2차원 실수 특수선형군

• “General linear group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “General linear group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• 이철희. “일반 선형군의 표현론”. 《수학노트》.