일반화된 f-평균

수학과 통계학에서 일반화된 f-평균(generalised f-mean)은 산술평균이나 기하평균과 같은 평균들을 함수 f(x)를 사용하여 일반화한 것이다.

실수 축의 연결된 부분집합 S를 실수로 대응시키는 함수 f가 주어지고, 이 f가 연속인 단사 함수일 때, n개의 수들 x₁, x₂, …, x_n의 f-평균은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\bar {x}}=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)}$

f가 연속이어야 한다는 조건은 ${\displaystyle {\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}}$가 역함수 f^-1의 정의역에 포함되기 위하여 필요하다.

f가 연속이면서 단사 함수이기 때문에 f는 강한 단조 증가 함수이다. 따라서 f-평균은 {x_i}의 가장 큰 숫자보다 크지 않으며, {x_i}의 가장 작은 숫자보다 작지도 않다.

• S가 실수 집합이고 f(x) = x일 때, f-평균은 산술평균이 된다.
• S가 양의 실수 집합이고 f(x) = log_bx일 때, f-평균은 기하평균이 된다. 이 결과는 밑수 b가 어떤 값이든 로그 함수가 정의가 된다면 항상 참이다.
• S가 양의 실수 집합이고 f(x) = x^-1일 때, f-평균은 조화평균이 된다.

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